Théorème de Catalan

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Le théorème de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé par le mathématicien Eugène Charles Catalan.

Ce théorème s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32).

(une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64)

En d'autres termes, le théorème de Catalan énonce que la seule solution en nombres naturels de l'équation

xayb = 1

pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Ce résultat fut démontré par Preda Mihăilescu en avril 2002. La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois.

La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai (de) en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) René Schoof (en), Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Tijdeman (en)


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's conjecture » (voir la liste des auteurs)