Conjecture de Catalan

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La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en avril 2002 par Preda Mihăilescu[1].

Ce théorème s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32).

(Une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.)

En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation

xayb = 1

pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois[2].

La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai (de) en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.

La table suivante (voir suite A103953 de l'OEIS pour le plus petit k et suite A076427 de l'OEIS pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65

n entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers n entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers
1 8 33 16, 256
2 25 34
3 1, 125 35 1, 289, 1296
4 4, 32, 121 36 64, 1728
5 4, 27 37 27, 324, 14348907
6 38 1331
7 1, 9, 25, 121, 32761 39 25, 361, 961, 10609
8 1, 8, 97336 40 9, 81, 216, 2704
9 16, 27, 216, 64000 41 8, 128, 400
10 2187 42
11 16, 25, 3125, 3364 43 441
12 4, 2197 44 81, 100, 125
13 36, 243, 4900 45 4, 36, 484, 9216
14 None 46 243
15 1, 49, 1295029 47 81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16 9, 16, 128 48 1, 16, 121, 21904
17 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 49 32, 576, 274576
18 9, 225, 343 50
19 8, 81, 125, 324, 503284356 51 49, 625
20 16, 196 52 144
21 4, 100 53 676, 24336
22 27, 2187 54 27, 289
23 4, 9, 121, 2025 55 9, 729, 175561
24 1, 8, 25, 1000, 542939080312 56 8, 25, 169, 5776
25 100, 144 57 64, 343, 784
26 1, 42849, 6436343 58
27 9, 169, 216 59 841
28 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 60 4, 196, 2515396, 2535525316
29 196 61 64, 900
30 6859 62
31 1, 225 63 1, 81, 961, 183250369
32 4, 32, 49, 7744 64 36, 64, 225, 512

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's conjecture » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) René Schoof (en), Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Tijdeman (en)