Théorème de Birkhoff (relativité)

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En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité[1],[2],[3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild[4],[5],[6].

Énoncés[modifier | modifier le code]

Unicité de la métrique de Schwarzschild — La métrique de Schwarzschild est l'unique solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique[7].

Tout espace-temps à symétrie sphérique satisfaisant à l'équation d'Einstein pour le vide doit avoir, en plus des trois champs de vecteur de Killing liés à la symétrie sphérique, un champ de vecteur de Killing supplémentaire[8].

.

Une solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein pour le vide est nécessairement statique[9],[10] dans une région extérieure[9] au rayon de Schwarzschild[11].

Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnée t est de genre temps et les coordonnées r, θ et φ sont de genre espace[10].

Histoire[modifier | modifier le code]

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide[12]. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre M correspondant à la masse[12]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec r tel que l'aire des sphères — qui sont les orbites du groupe des rotations — soit 4πr2[12]. Dans ce système de coordonnées et pour M > 0, la métrique présente une singularité à r = 2GM / c2[12]. Dans la région r > 2GM / c2, la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à r0 > 2GM / c2[12]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique[12].

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923[13],[14],[15].

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer[16] et de Hubert Goenner[17], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt[18] puis Stanley Deser et Joel Franklin[19], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)[20]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques[21]. D'après Deser et Franklin[19], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès [22] et par J. Eisland deux ans plus tard[23].

Justification intuitive[modifier | modifier le code]

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild[24] : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant[24].

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire. Cela signifie qu'une étoile soumise à des pulsations sphériques ne peut pas émettre d'ondes gravitationnelles.

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild[25] :

,

où :

  • et son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
  • et sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
  • est le rayon de Schwarzschild.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale[26], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation[27]. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel[27].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Bachelot 1993, p. 2.
  2. ↑ Bachelot 1996, p. 3.
  3. ↑ Vasset 2009, p. 64.
  4. ↑ Dul 2016, p. 7.
  5. ↑ Reall 2017, p. 11.
  6. ↑ Zegers 2005, p. 1.
  7. ↑ Earman 2015, chap. 1er, sec. 1.2, p. 5.
  8. ↑ Ong 2015, chap. 1er, sec. 1.1, p. 7, n. 12.
  9. ↑ a et b Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 2.
  10. ↑ a et b Capozziello et Faraoni 2010, chap. 4, sec. 4.3, § 4.3.3, p. 143.
  11. ↑ Ellis 2015, sec. 2, introduction, p. 598, col. 1.
  12. ↑ a b c d e et f (en) Demetrios Christodoulou, The formation of black holes in general relativity [« La formation des trous noirs en relativité générale »], Zürich, EMS, coll. « EMS monographs in mathematics », 1re éd., IX-589 p., 16,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-03-719068-5, EAN 9783037190685, OCLC 495196402, BNF 42200945, DOI 10.4171/068, Bibcode 2009fbhg.book.....C, arXiv 0805.3880, SUDOC 13544893X, présentation en ligne, lire en ligne), p. 1.
  13. ↑ Birkhoff 1923.
  14. ↑ Spagnou 2017, 4e partie, chap. 3, § 4.
  15. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Birkhoff (théorème de), p. 79, col. 2.
  16. ↑ Schmutzer 1968.
  17. ↑ Goenner 1970.
  18. ↑ Schmidt 1997.
  19. ↑ a et b Deser et Franklin 2005, n. 5.
  20. ↑ (en) Nils Voje Johansen et Finn Ravndal, « On the discovery of Birkhoff's theorem », General Relativity and Gravitation, vol. 38, no 3,‎ , p. 537-540 (DOI 10.1007/s10714-006-0242-0, arXiv physics/0508163v2).
  21. ↑ (en) Anne Marie Nzioki, Rituparno Goswami et Peter K. S. Dunsby, « Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity », Physical Review D, vol. 89,‎ , p. 064050 (DOI 10.1103/PhysRevD.89.064050).
  22. ↑ Alexandrow 1923.
  23. ↑ Eiesland 1925.
  24. ↑ a et b (en) Wolfgang Rindler, Essential relativity : special, general, and cosmological, New York, Heidelberg et Berlin, Springer, coll. « Text and monographs in physics », , 2e éd. (1re éd. 1969), XIV-284 p., 24 cm (ISBN 0-387-07970-X, 0-387-10090-3, 3-540-07970-X et 3-540-10090-3, OCLC 299708869, BNF 37362717, DOI 10.1007/978-3-642-86650-0, Bibcode 1977ersg.book.....R, SUDOC 011728663, présentation en ligne, lire en ligne), p. 138.
  25. ↑ (en) Kip S. Thorne et Roger D. Blandford, Relativity and cosmology [« Relativité et cosmologie »], Princeton, Princeton University Press, coll. « Modern classical physics » (no 5), , 1re éd., XXII p. et p. 1151-1544, 26 cm (ISBN 978-0-691-20739-1, EAN 9780691207391, OCLC 1259628386, SUDOC 256442894, présentation en ligne, lire en ligne), p. 1250.
  26. ↑ (en) Christian Heinicke et Friedrich W. Hehl, « Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation : an introduction » [« Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein : une introduction »], Int. J. Mod. Phys. D, vol. 24, no 2,‎ , p. 1530006 (OCLC 5823012032, DOI 10.1142/S0218271815300062, Bibcode 2015IJMPD..2430006H, arXiv 1503.02172, résumé) — réimpr. dans :
  27. ↑ a et b (en) Stuart L. Shapiro et Saul A. Teukolsky, Black holes, white dwarfs, and neutron stars : the physics of compact objects [« Trous noirs, naines blanches, et étoiles à neutrons : la physique des objets compacts »], New York, Wiley, (réimpr. ), 1re éd., XVII-645 p., 24 cm (ISBN 0-471-87317-9 et 0-471-87316-0, EAN 9780471873174, OCLC 421948441, BNF 37360987, DOI 10.1002/9783527617661, SUDOC 007387539, présentation en ligne, lire en ligne), p. 359.
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Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Publications du théorème

Découverte du théorème

Exemples de démonstration du théorème

Dictionnaires

Communications et exposés

Cours

Thèses

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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