Théorème de Balian-Low

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En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.

Théorème de Balian-Low[modifier | modifier le code]

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

Si l'ensemble des forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert , alors on a :

ou bien :

avec la transformée de Fourier de la fonction g.

Énoncé équivalent[modifier | modifier le code]

Famille de Gabor[modifier | modifier le code]

On appelle famille de Gabor tout ensemble de la forme :

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, appelée fonction prototype ; et deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On appelle densité de la famille le nombre réel :

Théorème de Balian-Low[modifier | modifier le code]

Dans ce contexte, le théorème de Balian-Low s'énonce sous la forme d'un principe d'incertitude :

« Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence. »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Roger Balian, Un principe d'incertitude fort en théorie du signal ou en mécanique quantique, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 292 (1981), 1357-1362 ;
  • Francis Low, Complete sets of wave packets, dans : C. DeTar (editor), A Passion for Physics - Essay in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific (Singapour-1985), 17-22 ;
  • Yves Meyer, Le traitement du signal et l'analyse mathématique, Annales de l'institut Fourier 50 (2) (2000), 593-632 ; Numdam
  • J. Benedetto, C. Heil & D. Walnut, Differentiation and the Balian-Low theorem, J. Fourier Analysis and Applications 1 (1995).