Théorème d'approximation de Dirichlet

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Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat suivant[1] d'approximation diophantienne simultanée de d réels  :

Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que

,

dont le cas particulier N = Qd avec Q entier[2] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet[3], ou le résultat suivant[4],[5] (plus général[6]) :

Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que

,

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Pour d = 1, un corollaire élémentaire est que pour tout irrationnel x, il existe une infinité de rationnels p/q tels que |x – p/q| < 1/q2 (alors que pour un rationnel x, il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions p/q).

Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire[8].

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) « Dirichlet theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne) (énoncé seulement pour N entier). Une généralisation est démontrée dans (en) J. W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, (lire en ligne), p. 13.
  2. Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels a1, a2, … , ad, tout entier Q > 0 et tout réel t0 > 0, il existe un réel t tel que t0tt0Qd et .
  3. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 216-217, th. 200.
  4. Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt (de), Diophantine Approximation, Springer, (lire en ligne), p. 28-32.
  5. (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, no 2,‎ , p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour M entier.
  6. Le premier énoncé se déduit du second en prenant .
  7. Une variante consiste à définir par récurrence, dans cet ensemble, un suite infinie d'éléments distincts : cf. (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 6-7 ou (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), p. 2.
  8. (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com,‎ .

Articles connexes[modifier | modifier le code]