Théorème d'Erdős-Mordell

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Figure du Théorème d'Erdős-Mordell : MA + MB + MC ≥ 2(MH + MK +ML).

Le théorème d'Erdős-Mordell est un théorème de géométrie euclidienne portant sur le triangle. Son nom provient des mathématiciens Paul Erdős qui l'a conjecturé en 1935 et Louis Mordell qui l'a prouvé en 1937, conjointement avec David Francis Barrow (en) et en utilisant la trigonométrie. Des preuves plus élémentaires que celle de Mordell furent données par Donat K. Kazarinoff[1] en 1945[2]puis Leon Bankoff en 1958[3].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour tout point M intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux trois sommets est au supérieure ou égale au double de la somme des distances de M aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et M en est le centre[1].

Esquisse de preuve[modifier | modifier le code]

Soient ABC un triangle et M un point intérieur à ce triangle. On note H, K et L les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AC), (BC) et (AB).

Lemme : MA ≥ (CA ML + AB MH)/BC.

De même, MB ≥ (AB MK + BC ML)/CA et MC ≥ (BC MH + CA MK)/AB.

En additionnant membre à membre ces trois inégalités, on obtient bien :

MA + MB + MC ≥ (AB/BC + BC/AB) MH + (AB/CA + CA/AB)MK + (CA/BC + BC/CA)ML ≥ 2(MH + MK +ML), avec égalité si et seulement si AB = BC = CA et M = le centre du cercle circonscrit.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) D. K. Kazarinoff, « A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles », Michigan Mathematical Journal, vol. 4, no 2,‎ , p. 97-98 (lire en ligne).
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Erdős-Mordell Theorem », MathWorld.
  3. (en) Leon Bankoff, « An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem », Amer. Math. Month., vol. 65, no 7,‎ , p. 521 (JSTOR 2308580).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Inégalité de Barrow (en)

Liens externes[modifier | modifier le code]