Théorème d'Ayme

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Le théorème d'Ayme est un résultat de septembre 2011[1] concernant la géométrie du triangle. C'est un théorème de géométrie projective. Le théorème a été découvert et démontré par Jean-Louis Ayme, professeur de mathématiques retraité à Saint-Denis de La Réunion.

Hypothèses du théorème[modifier | modifier le code]

Triangle[modifier | modifier le code]

On considère un triangle ABC (en bleu) et son cercle circonscrit (en vert):

Ayme1.svg

Trois points[modifier | modifier le code]

On considère trois points P, Q et R du plan (ailleurs que sur les côtés de ABC):

Ayme2.svg

Constructions de droites[modifier | modifier le code]

Constructions basées sur le premier sommet[modifier | modifier le code]

Avec P[modifier | modifier le code]

La droite (AP) est la cévienne de P issue de A; elle coupe le côté opposé en un point Pa:

Ayme3.svg

Avec Q[modifier | modifier le code]

De même, la droite (AQ) coupe le côté opposé en Qa:

Ayme4.svg

Avec R[modifier | modifier le code]

Par contre, le point Ra est défini comme l'intersection de (AR) et du cercle circonscrit à ABC:

Ayme5.svg

Cercle[modifier | modifier le code]

Comme le triangle PaQaRa n'est pas aplati, il possède un cercle circonscrit (en rouge):

Ayme6.svg

Point[modifier | modifier le code]

L'intersection des deux cercles est formée de deux points; l'un d'eux est Ra.

Définition du point associé à A[modifier | modifier le code]

L'autre point d'intersection des deux cercles est noté Sa ci-dessus.

Droite passant par A[modifier | modifier le code]

On construit alors la droite (ASa):

Ayme7.svg

Constructions basées sur le second sommet[modifier | modifier le code]

En répétant les constructions ci-dessus avec le point Q, on construit successivement

  1. le point Pb, intersection de (BP) et (AC);
  2. le point Qb, intersection de (BQ) et (AC);
  3. le point Rb, intersection de (BR) et du cercle circonscrit;
  4. le cercle circonscrit à PbQbRb (en rouge)
  5. L'intersection de ce cercle avec le cercle circonscrit à ABC: Le point Sb:

Ayme8.svg

On joint alors le dernier point construit (Sb) au sommet B qui lui correspond:

Ayme9.svg

Constructions basées sur le troisième sommet[modifier | modifier le code]

De même, on construit le point Sc correspondant au sommet C:

Ayme10.svg

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Théorème — Les trois droites (ASa), (BSb) et (CSc) sont concourantes.

Ayme11.svg

Notes et références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • [2] l'original du théorème
  • [3] annonce dans une revue à referee
  • [4] figure animée sur le site de l'IREM de La Réunion
  • [5] des figures effectuées par des élèves