Terpapillon

Terpapillon, papillon ternaire .

Terdragon, dragon ternaire

Le terpapillon, ou papillon ternaire, est une figure fractale obtenue en remplaçant un segment par deux courbes de lépidoptères, une variante de la courbe de Koch, opposées et orientées en sens inverse. Il possède des propriétés très similaires à celles du terdragon, plus connu , basé sur l'opposition similaire d'une courbe fractale différente. Le papillon, comme le dragon, est un reptuile d'ordre 3, mais contrairement à ce dernier, il peut être divisé en trois copies, qui sont des images miroir de l'original.

Algorithme

L'algorithme de création de la courbe des lépidoptères est similaire à celui de la courbe de Koch. Pour le souligner, on emploie un algorithme à convergence plus lente que celui habituellement utilisé pour la courbe de Koch. Pour les deux courbes, le processus débute par un segment unique, remplacé ensuite par deux segments obliques formant un triangle isocèle dont les angles mesurent 30°, 120° et 30°. La même transformation est ensuite appliquée aux segments, dont la longueur augmente à chaque niveau selon une puissance de deux. Pour la courbe de Koch, à chaque niveau, la substitution est inversée dans tous les segments, alternant entre la droite et la gauche. Pour la courbe des lépidoptères, en revanche, les constructions de droite et de gauche alternent à chaque niveau. Cependant, le point de départ change également à chaque niveau. Si le niveau précédent commençait par une construction de droite, l'alternance commence désormais par une construction de gauche. La figure illustre ces deux transformations. Dans les deux dernières cellules de chaque ligne, la courbe résultante est répétée des deux côtés de manières possibles, ce qui donne dans le premier cas une colonne de fractales siamoises et dans le second une colonne de fractales de papillons de nuit.

Comparaison entre les algorithmes qui génèrent la courbe de Koch, la la curbe du terdragon et la courbe des lépidoptères, dont est également dérivée le papillon de nuit

Dragon et papillon ternaires dessinés par la tortue de FMSLogo

Figures fractales :dragon ternaire, papillon ternaire, colonne siamoise et colonne de papillon de nuit

Programme FMSLogo

Il s'agit d'une version du logiciel éducatif Logo, un logiciel libre dont le code source est disponible.

to drafarper :lato :liv :s
if :liv=0 [forward :lato stop]
left 30*:s
drafarper :lato/:r3 :liv-1 :s*:t
jump -:lato/:r3 0
right 30*:s
jump :lato 0
right 180
right 30*:s
drafarper :lato/:r3 :liv-1 :s*:t
jump -:lato/:r3 0
left 30*:s
right 180
end

to drafarpercom :lato :liv :s
make "r3 sqrt 3
hideturtle
repeat 2 [drafarper :lato :liv :s right 180]
jump :lato 0
showturtle
end

to jump :alto :lungo
penup
forward :alto right 90
forward :lungo left 90
pendown
end

La procédure « jump » permet de déplacer la tortue sans laisser de trace. La procédure récursive «drafarper» est utilisée par «drafarpercom». Si la variable t vaut 1, c'est le dragon qui est dessiné ; si elle vaut -1, c'est le papillon, comme illustré sur la figure.

Comparaison entre le terpapillon et le terdragon

Le terpapillon et le terdragon ont tous deux la même aire qu'un losange dont les angles mesurent 60°, 120°, 60° et 120° s'ils sont construits à partir d'un segment de longueur égale à la plus grande diagonale du losange. En effet, après chaque itération, l'aire ajoutée et l'aire soustraite par l'alternance s'équilibrent parfaitement.

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  Papillon ternaire
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  Dragon ternaire
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  Génération de zone
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  Génération de zone
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  Génération de zone
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  Génération de périmètre
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  Triangles de terdragons et de terpapillons
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  Roues de terpapillons et de terdragons
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  Pavage du plan avec des terpapillons
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  Pavage du plan avec des terdragons

Références

(nl) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en néerlandais intitulé « Vlinder (fractal) » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie en ligne

• (it) Giorgio Pietrocola, « Affinità tra figure frattali. Algoritmi combinatori alla scoperta delle coppie drago, farfalla e falene, siamesi », Periodico di Matematica, Accademia di Filosofia delle Scienze Umane, vol. (IV) Vol. V(2),‎ 2024, p. 111–124 (ISSN 2612-6745, lire en ligne)
• (it) Giorgio Pietrocola, « Mostra di rep-3 », sur Tartapelago, 2009 (consulté le 21 avril 2026)

Voir aussi

Liens externes

• Robert Ferréol, « Courbes du terdragon et des lépidoptères, terdragon et terpapillon », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables