Tendance centrale

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En statistiques, la tendance centrale désigne le point autour duquel se regroupent à un certain degré les différentes valeurs d'une variable quantitative mesurées dans un échantillon ou issues d'une population, c'est-à-dire le « centre » autour duquel ces valeurs « tendent » à se concentrer. On parle aussi de la position de cet ensemble de valeurs par opposition à la dispersion statistique, qui en reflète la variabilité. Il existe plusieurs mesures de la tendance centrale dites aussi critères de position ; les plus connues sont la moyenne, la médiane ou le mode.

En pratique, le choix de l'une ou l'autre des différentes mesures de la tendance centrale est souvent préliminaire à toute analyse statistique. Il est en effet souvent impossible de manipuler ou représenter l'intégralité des centaines voire des milliers de valeurs observées pour en tirer des conclusions. Il faut donc « résumer » l'information formée par ce grand nombre de mesures en un petit nombre de valeurs suffisamment représentatives. Dans de nombreux domaines, on utilise la moyenne arithmétique comme mesure de la tendance centrale, avec parfois l'écart-type pour évaluer la dispersion due par exemple à l'erreur de mesure.

Les paramètres de position d'une distribution sont les paramètres qui influent sur la tendance centrale de la fonction de répartition. C'est par exemple le paramètre μ qui mesure l'espérance d'une loi normale.

Valeur maximum et valeur minimum[modifier | modifier le code]

La valeur maximale est la plus grande valeur prise par le caractère statistique.

La valeur minimale est la plus petite valeur prise par le caractère statistique.

Médiane[modifier | modifier le code]

La médiane tend à partager la population en deux populations de taille égale. Si m est la médiane, le nombre d'individus dont le caractère statistique est inférieur à m doit correspondre au nombre d'individus dont le caractère statistique est supérieur à m. Si cette définition s'accorde bien avec le cas d'une variable continue, elle n'est pas adaptée au cas d'une variable discrète où une autre définition est donnée. Si les valeurs du caractère statistique sont toutes différentes, la médiane, telle qu'elle est définie dans le cas discret, partage bien la population en deux, mais ce n'est pas toujours le cas si certaines valeurs du caractère statistique sont prises plusieurs fois.

Cas de la variable discrète[modifier | modifier le code]

On trie les valeurs par ordre croissant.

  • Si la population comporte n individus et si n est impair alors n = 2p+1, la médiane sera la (p+1)e valeur du caractère statistique.
Exemple: série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11,12, 13, 16.
Médiane = M = 10
  • Si la population comporte n individus et si n est pair alors n = 2p, la médiane sera la moyenne entre la pe et (p+1)e valeur du caractère statistique.
Exemple: série de 12 notes: 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16.
Médiane = M = 9,5

Cas de la variable continue[modifier | modifier le code]

On utilise le polygone des fréquences cumulées croissantes et le tableau correspondant et on détermine graphiquement ou par interpolation linéaire la valeur M pour laquelle la fréquence de l'intervalle [valeur min, M] vaut 50 %.

Utilisation du polygone des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Dans l'exemple développé dans statistiques élémentaires continues, le polygone des fréquences cumulées est le suivant:

Polygone et mediane.png

La droite d'équation y = 50 coupe le polygone environ au point d'abscisse 21. M \approx 21.

Remarque: Le polygone des fréquences cumulées croissantes et celui des fréquences cumulées décroissantes se coupent exactement en un point dont l'abscisse est la médiane.

Utilisation du tableau des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Dans l'exemple précédent, le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

x_i 0 8 12 16 20 30 40 60
fréquences cumulées croissantes 0 7 12,3 21,1 48,1 81,7 94,7 100

Les 50 % sont atteints entre 20 et 30 donc pour une valeur M que l'on estime à 20+10\dfrac{50-48,1}{81,7-48,1}= 20,56 par interpolation linéaire.

Moyenne[modifier | modifier le code]

Cas de la série statistique discrète triée mais non regroupée[modifier | modifier le code]

\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

L'article Statistiques élémentaires discrètes explique cette formule.

Cas de la série statistique discrète regroupée[modifier | modifier le code]

\overline{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{N}n_ix_i}{\sum_{i=1}^Nn_i}=\sum_{i=1}^Nf_ix_i

L'article Statistiques élémentaires discrètes explique cette formule.

Cas de la série continue[modifier | modifier le code]

*\overline{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{N}n_im_i}{\sum_{i=1}^Nn_i}=\sum_{i=1}^Nf_im_i

L'article Statistiques élémentaires continues explique cette formule.

Stabilité par transformation affine[modifier | modifier le code]

La moyenne est stable par transformation affine, c'est-à-dire : si y_i = ax_i + b, si \overline{x} est la moyenne de la série x alors la moyenne de la série y est \overline{y} = a\overline{x}+b.

Cette propriété est utile pour changer d'unité: si on connaît une moyenne de température en degré Fahrenheit, il est inutile de convertir toutes les valeurs en degrés Celsius pour calculer la moyenne en degrés Celsius, il suffit de ne convertir que la moyenne.

Il est aussi intéressant, pour limiter la taille des nombres, de partir d'un moyenne estimée et de calculer la moyenne des d_i = x_i - M_{estim.}. Alors \overline{x} = M_{estim.} + \overline{d}

Découpage en sous-population[modifier | modifier le code]

Si la population est découpée en deux sous-populations P_1 et P_2 de tailles n_1 et n_2, si la moyenne du caractère statistique pour la population P_1 est \overline{x_1} et la moyenne pour la population P_2 est \overline{x_2} alors la moyenne pour la population P est \overline{x} = \dfrac{n_1\overline{x_1}+n_2\overline{x_2}}{n_1+n_2}.

Sensibilité aux valeurs extrêmes[modifier | modifier le code]

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes.

Exemple: dans une entreprise, 9 salariés sont payés 2000 Euros mensuels. Le patron se paie 22000 Euros mensuels.

Effectuer la moyenne dans ces conditions conduit à une valeur non représentative: \overline{x}=\dfrac{9\times2000+22000}{10}=4000 Euros.

Pour éviter ce genre de piège, il arrive que l'on tronque volontairement la population et qu'on élimine 10 % des valeurs les plus basses et 10 % des valeurs les plus hautes.

Mode[modifier | modifier le code]

Le mode est la valeur du caractère statistique qui apparaît le plus fréquemment.

Exemple 1: note des élèves
notes x_i 5 8 9 10 11 12 13 14 16 Total
effectifs n_i 1 1 2 4 3 2 1 1 1 16

Le mode est 10.

Exemple 2: note des élèves
notes x_i 5 8 9 10 11 12 13 14 16 Total
effectifs n_i 1 1 4 2 2 4 1 1 1 16

Cette série est dite série bimodale car on voit apparaître deux modes : 9 et 12.

Dans le cas d'une variable continue, on peut entendre parler de classe modale qui serait la classe de plus grand effectif. Mais il faut se méfier de cette notion car, plus la classe est de grande amplitude, plus son effectif est important sans pour autant que cela soit significatif. Cette notion de classe modale définie par les effectifs de la classe n'a de sens que si les classes ont même amplitude. Si les amplitudes sont différentes, il faut aller chercher sur l'histogramme la classe associée au rectangle de plus grande hauteur.

Exemple : l'exemple développé dans Statistiques élémentaires continues conduit au tableau suivant: Répartition des revenus annuels en milliers d'Euros dans une population de 4370 personnes.
Salaires entre 0 (inclus) et 8 exclus entre 8 (inclus) et 12 exclus entre 12 (inclus) et 16 exclus entre 16 (inclus) et 20 exclus entre 20 (inclus) et 30 exclus entre 30 (inclus) et 40 exclus entre 40 (inclus) et 60 exclus Total
Effectifs 306 231 385 1180 1468 568 232 4370

L'observation de ce tableau laisse penser que la classe modale serait la classe [20;30[. Mais une observation de l'histogramme corrige cette idée fausse :

La classe modale est la classe [16; 20[.

Quartiles[modifier | modifier le code]

Les quartiles sont les trois valeurs qui partagent la population en 4 sous-populations de même taille.

Cas de la variable discrète[modifier | modifier le code]

On range les valeurs par ordre croissant.

On détermine le second quartile qui correspond à la médiane. Puis on cherche la médiane de la première moitié de la population qui correspond au 1er quartile. On cherche la médiane de la seconde moitié de la population qui correspond au troisième quartile.

Si la population est de taille n, on distingue 4 cas.

Note : Méthode de calcul différente disponible sur la page quartile

Si n = 4p[modifier | modifier le code]

Q1 = moyenne entre la pe et (p+1)e valeur.

Q2 = moyenne entre la (2p)e valeur et la (2p+1)e valeur.

Q3 = moyenne entre la (3p)e valeur et la (3p+1)e valeur.

Exemple : série de 12 notes: 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16

Q1 = 7,5

Q2 = 9,5

Q3 = 10,5

Si n = 4p+1[modifier | modifier le code]

Q1 = (p+1)e valeur.

Q2 = (2p+1)e valeur.

Q3 = (3p+1)e valeur.

Exemple : série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 16

Q1 = 8

Q2 = 10

Q3 = 11

Si n = 4p+2[modifier | modifier le code]

Q1 = (p+1)e valeur.

Q2 = moyenne entre la (2p+1)e valeur et la (2p+2)e valeur.

Q3 = (3p+2)e valeur.

Exemple : série de 14 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12,13, 16

Q1 = 8

Q2 = 9,5

Q3 = 11

Si n = 4p+3[modifier | modifier le code]

Q1 = (p+1)e valeur.

Q2 = (2p+2)e valeur.

Q3 = (3p+3)e valeur.

Exemple : série de 15 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11,11, 12, 13, 16

Q1 = 8

Q2 = 10

Q3 = 11

Approximation utile pour une variable discrète[modifier | modifier le code]

On range les valeurs par ordre croissant.

Q1 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x min, Q1] regroupe au moins 25 % de la population.

Q2 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x min, Q2] regroupe au moins 50 % de la population.

Q3 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x min, Q3] regroupe au moins 75 % de la population.

En reprenant les exemples précédents:

Si n = 12: 25 % de n = 3, puis 50 % de n = 6, puis 75 % de n =9.

La série de notes est 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16

Q1 = 7, Q2 = 9, Q3 = 10

Si n = 13: 25 % de 13 = 3,25, puis 50 % de 13 = 6,5, puis 75 % de 13 = 9,75 que l'on arrondit à l'entier supérieur.

La série de notes est 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 16

Q1 = 8, Q2 = 10, Q3 = 11

On s'aperçoit que cette approximation rend dissymétrique la définition, que le second quartile ne correspond plus à la médiane et que les valeurs obtenues diffèrent de celles de la définition précédente. Son avantage est de rendre la recherche des quartiles (approchés) plus facile sans que l'on soit obligé de distinguer 4 cas. Les différences obtenues par l'une ou l'autre des méthodes se révèlent négligeables et justifient l'usage de cette approximation.

Cas de la variable continue[modifier | modifier le code]

On calcule les quartiles comme la médiane, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Utilisation du polygone des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Polygone quartile.png

Les droites d'équation, y = 25, y = 50 et y = 75 coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ 17, 21, 28.

Utilisation du tableau des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

x_i 0 8 12 16 20 30 40 60
fréquences cumulées croissantes 0 7 12,3 21,1 48,1 81,7 94,7 100

25 % est atteint dans l'intervalle [16;20] soit pour une valeur de Q1 obtenue par interpolation linéaire Q1 =16+4\dfrac{25-21,1}{48,1-21,1}=16,57.

Q2 =M =20,56.

75 % est atteint dans l'intervalle [20;30] soit pour une valeur de Q3 obtenue par interpolation linéaire Q3 =20+10\dfrac{75-48,1}{81,7-48,1}=28,00.

Déciles[modifier | modifier le code]

Les déciles sont les 9 valeurs qui partagent la population en 10 sous-populations de même taille.

Cas de la variable discrète[modifier | modifier le code]

On travaillera ici par approximation : le ne décile D_n est la première valeur du caractère tel que l'intervalle [xmin, D_n] regroupe au moins n dixième de la population.

Exemple Série de 30 notes, 9e décile = 27e valeur.

4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16

D_9= 14

Cas de la variable continue[modifier | modifier le code]

On calcule les déciles comme la médiane et les quartiles, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Utilisation du polygone des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Polygone decile.png

Les droites d'équation y = 10, y = 20 ... y = 90 coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ D_1=10,5, D_2= 15,5...D_9=36,5

Utilisation du tableau des fréquences cumulées croissantes[modifier | modifier le code]

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

x_i 0 8 12 16 20 30 40 60
fréquences cumulées croissantes 0 7 12,3 21,1 48,1 81,7 94,7 100

10 % est atteint dans l'intervalle [8;12] soit pour une valeur de D_1 obtenue par interpolation linéaire D_1 =8+4\dfrac{10-7}{12,3-7}=10,26.

20 % est atteint dans l'intervalle [12,16] soit pour une valeur de D_2 obtenue par interpolation linéaire D_2 =12+4\dfrac{20-12,3}{21,1-12,3}=15,50.

90 % est atteint dans l'intervalle [30;40] soit pour une valeur de D_9 obtenue par interpolation linéaire D_9 = 30+10\dfrac{90-81,7}{94,7-81,7}=36,38.

Voir aussi[modifier | modifier le code]