Transfert radiatif

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Le transfert radiatif (ou transfert par rayonnement) est le domaine de la physique mathématique décrivant l'interaction du rayonnement électromagnétique et de la matière. Cette discipline permet notamment d'analyser la propagation des photons ou d'autres particules à travers un milieu gazeux, solide ou liquide. Historiquement les premiers développements ont été faits dans le domaine de la physique des plasmas[1],[2] et de l'astrophysique[3],[4]. Elle est aujourd'hui présente dans des domaines aussi variés que l'étude de l'atmosphère[5], les problèmes de transfert thermique à haute température[6],[7],[8] ou le rendu de génération d'image[9]. Elle s'applique également à des particules autres que les photons en neutronique[10],[11] et dans les problèmes d'irradiation, en particulier dans le domaine médical[12].

Problèmes posés[modifier | modifier le code]

Les problèmes posés sont de deux types :

  • prévoir le rayonnement d'un système matériel ou les effets du rayonnement sur celui-ci. Les deux problèmes peuvent être disjoints ou couplés.
  • diagnostiquer les propriétés d'une source à partir de mesures externes[7]. Cet aspect est particulièrement important en astrophysique où les objets étudiés sont particulièrement lointains et où toute l'information est contenue dans les spectres mesurés. On le retrouve dans d'autres problèmes où il est difficile de caractériser le milieu in situ : plasmas, haute atmosphère[5], matériaux poreux, etc. Cet aspect relève du domaine des problèmes inverses et n'est pas traité ici.

Dans ce qui suit on s'intéressera aux milieux gazeux qui concentrent les problèmes rencontrés dans le domaine.

Généralités[modifier | modifier le code]

Le rayonnement en un point du milieu peut

  • subir une absorption, contribuant à chauffer le gaz ;
  • être émis par une source imposée ou par les particules du gaz, ce phénomène étant très étroitement lié au précédent au niveau microscopique ;
  • subir une diffusion, changeant sa direction et éventuellement sa fréquence.

Le rayonnement subit ainsi une variation quantitative et qualitative au cours de sa propagation, ce qui se traduit par une équation aux dérivées partielles contenant des dérivées par rapport au temps, aux variables de position et de direction de propagation : l'équation de transfert du rayonnement.

Le rayonnement dépend de :

  • trois variables donnant la position dans l'espace  ;
  • deux variables donnant la direction de propagation . Dans ce qui suit on utilise les angles de colatitude (ou zénithal) et d'azimut (ou longitude)  ;
  • une variable de temps t ;
  • une variable de longueur d'onde . On peut également utiliser la pulsation (baptisée nombre d'onde en spectroscopie), la fréquence ou l'énergie  ;

soit sept variables au total. Cette dimensionnalité rend difficile la résolution générale du transfert du rayonnement tant d'un point de vue théorique que numérique. De plus, le rayonnement a en général une influence sur la matière traversée, qui l'influence en retour. Il s'ensuit que le problème doit être résolu de manière couplée, itérative dans la plupart des cas.

Dans un grand nombre de situations l'échelle de temps radiative est très courte par rapport aux échelles de temps liées au fluide, de sorte que l'on peut supposer le transfert de rayonnement comme quasi-statique, éliminant ainsi la variable temporelle. Cette condition est réalisée dans un grand nombre de phénomènes mais pas toujours en physique des plasmas où l'on peut rencontrer des phénomènes violents.

Dans d'autres cas, le nombre de variables de position peut être réduit à deux ou à une seule si la géométrie du système s'y prête. Enfin, dans de rares cas, on peut ne considérer que les valeurs intégrées sur tout le spectre. Notons que certaines approximations décrites plus loin permettent de faire disparaitre la dépendance angulaire explicite.

L'approche du phénomène est du type cinétique (analogue à la théorie cinétique des gaz) : les photons ont une trajectoire rectiligne entre deux interactions avec le milieu et la durée d'interaction est faible devant la durée qui sépare deux évènements. Ajoutons enfin que la présentation faite ici ignore la polarisation de la lumière[2] ou une variation continue d'indice de réfraction du milieu[2] qui fait apparaître des termes analogues à ceux présents dans l'équation eikonale. Ces problèmes retrouvent entre autres dans les transferts atmosphériques ou les tomographies médicales. La vitesse de propagation est égale à la vitesse de la lumière . Pour les milieux d'indice homogène différent de l'unité, on remplacera par .

Intensité du rayonnement[modifier | modifier le code]

Définition de la luminance

On caractérise le rayonnement par sa luminance [N 1] spectrale définie de la façon suivante. En un point donné de l'espace on considère un rayonnement contenu dans un angle solide , dans un intervalle de fréquence et traversant une aire élémentaire perpendiculaire à sa direction de propagation. La quantité d'énergie des photons est proportionnelle à , ce que l'on peut écrire :

La luminance spectrale est donc l'énergie par unités d'aire, de temps, de fréquence et d'angle solide, traversant une surface perpendiculaire au faisceau de rayonnement. Il s'agit donc d'une quantité positive ou nulle. La quantité représentant le flux angulaire d'énergie s'exprime en en W⋅m-2sr-1 dans le système SI ou en erg⋅s-1⋅cm-2⋅sr-1 dans le système CGS (obsolète mais encore utilisé dans certains domaines).

Si on se réfère à la longueur d'onde et non pas à la fréquence, la quantité représentant également le flux angulaire, n'est pas égale à et n'a pas les mêmes dimensions physiques. L'équivalence des deux écritures permet d'écrire

et, puisque ,

La présence d'une valeur absolue dans cette expression est liée au fait que et sont comptés positivement. Il résulte de ces expressions que se mesure en J⋅m-2⋅sr-1 et en en W⋅m-3⋅sr-1.

Comme indiqué plus haut l'intensité du rayonnement est fonction du point considéré, de la direction, de la fréquence et du temps

Moments de la luminance[modifier | modifier le code]

Les moments de la luminance sont définis par l'intégration angulaire de après multiplication par , où est le produit tensoriel. Ces quantités jouent un rôle important. Elles sont définies dans ce qui suit.

Energie radiative[modifier | modifier le code]

L'énergie volumique spectrale est l'intégrale de l'intensité dans tout l'espace angulaire divisée par (unité J.s.m-3)

Si la luminance est de révolution (indépendante de l'azimut ) on a

. Ce changement de variable permet simplement de condenser l'écriture. L'indépendance azimutale permet de réduire l'espace des variables d'une unité.

Si le milieu est à l'équilibre thermodynamique le rayonnement est celui d'un corps noir : il est isotrope et l'intensité lumineuse suit la loi de Planck

L'énergie vaut dans ce cas .

L'intégration sur tout le spectre donne l'énergie volumique totale (unité J/m3)

avec[13]

Pour effectuer cette intégration on a utilisé le changement de variable et la relation

Dans le cas général on utilise parfois une température apparente ou "effective" définie par . La quantité est la température du corps noir correspondante à l'énergie et n'a pas de signification physique particulière.

Flux radiatif ou exitance[modifier | modifier le code]

Le flux spectral à travers la surface est le moment d'ordre 1 de l'intensité, c'est-à-dire le vecteur (unité J⋅m-2)

On utilise également le flux adimensionné

Sa norme mesure l'anisotropie. Un rayonnement isotrope a un flux nul donc . Le flux maximal est obtenu lorsque toute l'énergie est transportée avec la vitesse c : sa valeur est alors donc dans ce cas . Cette dernière situation décrit un faisceau parallèle comme un faisceau laser.

Dans le cas unidimensionnel plan défini par un axe quelconque, le module du flux mesuré sur l'axe s'écrit

Si de plus la luminance est de révolution cette expression devient

On peut scinder cette expression en découpant l'espace en deux parties, l'une pour les rayons allant dans le sens - vers + et l'autre pour le sens opposé. On note et les intensités dans chaque demi-espace. Les flux correspondants sont notés et , tels que . Ces valeurs sont données par

Pour une luminance isotrope on a , c'est la loi de Lambert.

Si de plus on est à l'équilibre thermodynamique on obtient par intégration sur les fréquences la loi de Stefan est la constante de Stefan-Boltzmann.

Ces expressions sont d'un intérêt faible ici mais elles prennent tout leur sens lorsque l'espace est scindé en deux parties par une barrière physique opaque. Elles décrivent alors les propriétés radiatives de la surface de telles barrières.

Une hypothèse simplificatrice consistera à supposer a priori que la luminance est isotrope dans chaque demi-espace. Ce faisant on élimine la dépendance angulaire du problème au prix d'une multiplication par 2 du nombre d'équations. Cette méthode se généralise au problème bidimensionnel en utilisant un découpage de l'espace en 4 quadrants et au problème tridimensionnel par un découpage en 8 octants, ce qui multiplie par 8 le nombre d'équations. Malgré cela le gain en temps de calcul reste important. On note que dans ce cas la distribution angulaire est discontinue, ce qui n'est pas gênant en soi. Toutefois la discontinuité mesure la précision de la méthode, généralement médiocre.

Pression radiative[modifier | modifier le code]

La pression est le tenseur d'ordre 2 symétrique (unité J.s.m-3)

Si l'intensité est isotrope le tenseur de pression s'exprime en fonction du tenseur unité , étant le symbole de Kronecker

La pression est donc également isotrope. On verra que la proposition inverse n'est pas vraie.

Dans le cas du corps noir on peut intégrer en fréquence comme cela a été fait ci-dessus pour l'énergie et la pression vaut alors (unité J.m-3)

Il n'est pas nécessaire d'avoir des températures extrêmement élevées pour que la pression radiative concurrence la pression du fluide. Un exemple en est le radiomètre de Nichols. Cette notion de pression est utilisée pour calculer l'effort s'exerçant sur une surface comme dans le cas d'une voile solaire.

Plutôt que la pression on utilise le tenseur d'Eddington sans dimension . La valeur propre non nulle de la matrice correspondante est le coefficient d'Eddington . Le vecteur propre correspondant est le vecteur unitaire de propagation du flux .

Si le problème est à symétrie azimutale on peut montrer que le tenseur d'Eddington peut s'écrire sous la forme

Il est la somme d'un terme isotrope et d'un faisceau parallèle. correspond au cas isotrope et au faisceau.

Équation de transfert[modifier | modifier le code]

Quand le rayonnement traverse un milieu contenant des particules (atomes neutres ou ionisés, électrons, molécules neutres ou ionisées, grains de matière, etc.), cette matière est susceptible d'absorber, d'émettre ou de diffuser de l'énergie lumineuse.

Absorption[modifier | modifier le code]

On caractérise la capacité d'absorption du milieu contenant n particules actives par unité de volume par la section efficace ou le coefficient d'absorption , qui a la dimension de l'inverse d'une longueur et est défini de telle sorte que la quantité sans dimension représente la fraction de rayonnement absorbée le long du trajet . Cette quantité définit l'épaisseur optique de la couche infinitésimale

soit

Pour un milieu à une dimension d'espace l'absorption seule conduit à une décroissance exponentielle de la luminance (loi de Beer-Lambert). est la probabilité pour que le photon ne soit pas absorbé. Le libre parcours moyen est défini par . Or , donc .

Si on prend la longueur d'onde au lieu de la fréquence comme variable, le coefficient d'absorption est tel que

Émission, fonction source[modifier | modifier le code]

Le milieu peut contenir une source notée . Celle-ci peut être ponctuelle, linéique, surfacique ou volumique. Un cas important d'émission en volume est celui du gaz. On définit un coefficient d'émission spontanée relié à l'absorption par les mécanismes microscopiques (coefficients d'Einstein). A l'équilibre thermodynamique local est la distribution de Planck définie plus haut.

Diffusion[modifier | modifier le code]

Distributions angulaires pour le rayonnement

L'interaction d'un photon avec une particule chargée ou un objet solide de taille voisine de la longueur d'onde donne lieu à un phénomène de déviation et éventuellement un changement de fréquence. La diffusion[N 2] (en anglais "scattering") est caractérisée par sa probabilité de réalisation pour l'intervalle de fréquence , sur le trajet , valant , et comportant deux parties, l'une pour la transition directe (création) et l'autre pour le phénomène inverse (disparition)

Le phénomène est proportionnel au nombre de diffuseurs par unité de volume et pour chaque intervalle à leur section efficace spectrale (unité m2 s).

La déviation est caractérisée par la fonction de répartition (en anglais "phase function") normalisée par . Cette distribution est généralement axisymétrique par rapport au rayon incident et ne dépend que de l'angle que l'on peut caractériser par son cosinus dont la valeur est donnée par le produit scalaire .

Le terme de diffusion s'écrira donc en intégrant sur tous les

On peut simplifier cette expression en sortant de l'intégrale et en tenant compte de la normalisation de

Cette expression fait apparaître le coefficient qui caractérise l'extinction de l'intensité . On remarque que l'effet produit sur l'intensité est identique à celui caractérisant l'absorption. On pourra donc définir un coefficient d'extinction totale . Dans ce terme la part de la diffusion est l'albédo

Cette équation, valide pour la diffusion Compton se simplifie pour une diffusion élastique (sans changement de fréquence) comme les diffusions Thomson, de Mie ou Rayleigh. Dans ce cas on définit une section efficace telle que

Le terme de diffusion devient

avec

L'équation de transfert du rayonnement[modifier | modifier le code]

Formulation sous forme intégro-différentielle[modifier | modifier le code]

L'équation de transfert du rayonnement établit le bilan d'énergie pour l'intervalle de fréquence dans un volume , dans l'angle solide

  • Le terme de gauche est la variation spatio-temporelle dans le volume de référence ;
  • les termes de droite représentent les sources et puits d'énergie.

or un développement de Taylor permet d'écrire

de sorte que l'on obtient l'équation de transfert du rayonnement sous la forme (dans le cas de la diffusion élastique)

Cette équation est également connue sous le nom d'équation de Boltzmann à cause de son analogie avec l'équation décrivant les milieux gazeux. Le terme de droite représente la production totale.

Formulation sous forme intégrale[modifier | modifier le code]

Principe de la méthode intégrale

On peut décrire la luminance au point , dans la direction comme la somme de tous les rayons arrivant en ce point et provenant de avec , produits à l'instant . En cette origine on a un terme source qui correspond soit à une émission, soit résulte d'une diffusion . Dans ce dernier cas il s'écrit

La luminance au point est obtenue par intégration sur la ligne de visée

Cette expression explicite n'est utilisable que dans un nombre limité de situations.

Approximations[modifier | modifier le code]

On décrit ci-dessous brièvement les méthodes les plus courantes de résolution ou d'approximation.

Méthodes directes[modifier | modifier le code]

Dans le cas de milieux transparents l'approche directe du calcul de la luminance en un point à partir des sources est possible. De cette façon on peut calculer les facteurs de forme et les BRDF[6] donnant les échanges entre deux éléments de surface et calculer ainsi les échanges radiatifs dans une cavité. Dans ce type d'approche les ombres portées dans le cas d'une géométrie non convexe constituent une difficulté importante.

On peut ranger dans cette catégorie une méthode utilisée en génération d'image consistant à résoudre le problème de propagation à partir du point d'observation en remontant le trajet d'un certain nombre de rayons convergeant en ce point. C'est le lancer de rayons.

Méthodes intégrales[modifier | modifier le code]

Il est possible dans quelques cas d'obtenir la solution générale en calculant la distribution de Green K du problème. La solution s'exprime alors comme le produit de convolution

Cette équation est nommée équation de Schwarzschild-Milne. La méthode est théoriquement applicable quel que soit le terme source . En pratique les solutions analytiques du problème avec diffusion sont rares et limitées à des cas simples comme un milieu homogène (propriétés constantes), une diffusion isotrope, en géométrie à une dimension plane, cylindrique ou sphérique. La résolution fait appel à des méthodes mathématiques telles que les transformations de Laplace ou de Fourier. Ces solutions sont utilisées comme référence pour tester des approximations ("benchmark").

Méthodes stochastiques[modifier | modifier le code]

Principe de la méthode Monte Carlo

Dans les méthodes de type Monte-Carlo les phénomènes sont interprétés en termes probabilistes. Pour le déplacement est la probabilité pour la particule de ne pas être absorbée sur le trajet et la probabilité d'avoir une collision sur le trajet . est donc la densité de probabilité d'avoir une interaction après un trajet s.

À partir d'un espace maillé la méthode va donc consister à réaliser un grand nombre de pseudo-évènements avec diverses variables aléatoires en respectant les densités de probabilités :

  • choix de la maille, de la fréquence et de la direction d'émission ;
  • choix de la longueur de propagation ;
  • choix du type d'interaction.

Après un grand nombre d'expériences de ce type on effectue un bilan statistique dans chaque maille. Ce nombre N est généralement de plusieurs millions.

Cette méthode est utilisable dans toutes les situations mais elle est coûteuse et limitée par le bruit statistique résiduel qui varie comme [14]. Ce problème peut être minimisé en employant des techniques dites "biaisées" ou " non analogues"[11].

Méthode PN[modifier | modifier le code]

Il est possible de rechercher la solution sous forme d'une série d'harmoniques sphériques dans le cas général ou de polynômes de Legendre dans les cas où la symétrie azimutale est respectée. Plaçons nous dans ce dernier cas, on peut écrire l'approximation à l'ordre N

En multipliant cette expression par et en tenant compte de l'orthogonalité des polynômes de Legendre on identifie les comme les moments

En multipliant l'équation de transfert par chacun des et en tenant compte de la propriété d'orthogonalité des polynômes on obtient un système de N+1 équations pour N+2 inconnues . On fera donc une hypothèse pour clore le système. La plus simple consiste à imposer .

On peut montrer que la série infinie est solution exacte de l'équation de transfert. Toutefois cette propriété ne garantit pas que la série tronquée soit bonne : en particulier elle ne garantit pas la positivité de la solution qui peut être sensible au phénomène de Gibbs. Sauf problème particulier on obtient une bonne précision pour des valeurs de N comprises entre 10 et 100.

Un cas particulier est N=1. Il s'agit en fait d'une méthode très antérieure due à Eddington. En utilisant l'expression des deux premiers polynômes de Legendre et les quantités définies plus haut le développement s'écrit

Le premier terme correspond à l'équilibre thermodynamique et le second à une correction d'ordre 1. Cette méthode est limitée à des milieux où l'écart à l'équilibre thermodynamique est faible. Pour elle conduit à des valeurs négatives de la luminance. De plus la vitesse de propagation calculée à partir de la matrice jacobienne est , ce qui est problématique pour un problème instationnaire.

On peut calculer la pression correspondante : dans ce calcul le second terme s'annule car impair en et on obtient un tenseur isotrope .

Méthode SN[modifier | modifier le code]

Cette méthode curieusement appelée "méthode aux ordonnées discrètes" ou méthode SN (S pour"segmenté") consiste à discrétiser l'espace angulaire . Les N équations du transfert pour chacune des N directions choisies sont couplées par les termes source. Après résolution de ce système on intègre en employant une quadrature

Dans le cas à symétrie azimutale on utilise généralement comme directions les zéros de polynômes de Legendre. Les poids sont donnés par la méthode de Gauss ou celle de Gauss-Lobatto.

D'une façon générale elle est très proche de la méthode dans la mesure où, pour des distributions angulaires régulières, elle conduit aux mêmes valeurs numériques de la solution aux points de quadrature. Le nombre de ces points est comme pour la méthode compris entre 10 et 100 pour le cas symétrique et peut atteindre plusieurs centaines dans le cas général.

Cette méthode ne peut évidemment pas prendre en compte un faisceau non aligné avec l'une des directions de discrétisation. Plus généralement elle sera imprécise chaque fois que le problème contiendra de fortes anisotropies. Elle peut de plus être sensible au phénomène de Gibbs sur la distribution angulaire calculée.

Méthodes des moments[modifier | modifier le code]

La méthode consiste à multiplier l'équation de transfert par et à intégrer en angles. On trouve ainsi un système faisant apparaître les moments de la luminance définis plus haut et dans lequel la dépendance angulaire a disparu, ce qui constitue un gain considérable pour le calcul. Typiquement le gain est de plusieurs ordres de grandeur. En se limitant à l'ordre 1 on obtient pour un système à diffusion élastique

On a fait apparaître un nouveau coefficient d'extinction qui contient le premier moment de la distribution angulaire de diffusion

Comme dans toute méthode aux moments ce système est incomplet puisque chaque équation sur un moment fait apparaître un moment d'ordre supérieur. Il faut donc pour le résoudre trouver une expression du tenseur d'Eddington, la plus complexe reliant celui-ci au flux et à l'énergie, seules quantités disponibles dans le système.

Un moyen très simple est de supposer le tenseur isotrope  : c'est la méthode d'Eddington (voir ci-dessus méthode ). On obtient alors

Cette méthode est peu précise et on cherchera une solution reliant le facteur d'Eddington au flux adimensionné (quantités définies ci-dessus). Ce type de méthode appelée "facteur d'Eddington variable" donne de bons résultats en général.

Le système d'équations aux moments a un caractère hyperbolique ce qui constitue un avantage car il peut être assez facilement couplé avec les équations du fluide, lesquelles sont de même nature. Cela constitue également un inconvénient dans la mesure où il peut apparaître dans la résolution des discontinuités de nature non physique.

Diffusion[modifier | modifier le code]

Si l'on écrit la seconde équation du système aux moments avec l'hypothèse d'un flux stationnaire et d'un tenseur isotrope (ce qui ne signifie pas nécessairement une luminance isotrope, voir ci-dessus l'approximation d'Eddington) on obtient un flux qui s'écrit comme un terme de diffusion[N 2] analogue à la loi de Fick

Cette expression reportée dans la première équation du système conduit à une équation analogue à l'équation de la chaleur. Dans l'expression générale, la dépendance angulaire n'apparaît plus, d'où un gain sur le calcul. Le caractère parabolique de cette équation conduit à une vitesse de propagation infinie. La solution ne sera donc pas valide aux temps courts d'un système instationnaire. De plus l'hypothèse du tenseur de pression isotrope n'est valide que pour des luminances peu anisotropes. Dans son domaine de validité, la méthode est extrêmement efficace et bénéficie de tous les développements théoriques et numériques qui ont été mis au point pour l'équation de la chaleur.

Le terme de droite de l'équation ci-dessus peut être multipliée par une fonction ad hoc baptisée "limiteur de flux" afin de retrouver une vitesse de propagation finie. Celle-ci n'est pas unique et ne permet généralement qu'une amélioration modeste du résultat.

Dans le cas d'un milieu à l'équilibre thermodynamique on a vu que . Si donc on intègre l'équation ci-dessus en fréquence

On a introduit la moyenne de Rosseland

L'analogie avec l'équation de la chaleur est totale puisque l'on a pu définir une conductivité équivalente .

Traitement de l'ensemble du spectre[modifier | modifier le code]

Spectre d'émission de l'air.

Les spectres gazeux contiennent un fond continu (transition d'un électron d'un état lié au continuum, rayonnement continu de freinage) et des raies (transition entre états liés) lesquelles peuvent se compter en centaines de milliers, voire en millions. Le calcul raie par raie est exclu, sauf lorsque l'on veut effectuer un calcul de référence ("benchmark").

On va donc découper le spectre en bandes de fréquence dans lesquelles on définit des moyennes par . Dans le cas avec émission à l'équilibre thermodynamique et sans diffusion on obtient en moyennant l'équation de transfert

Le terme source ne pose pas de problème. On peut l'écrire , définissant ainsi la moyenne de Planck pour l'intervalle de fréquence considéré.

On va bien évidemment chercher à représenter le terme d'absorption sous la forme pour pouvoir se ramener aux méthodes de résolution connues. Mais et sont a priori fortement corrélés, mais ceci est dépendant des termes source. Par suite et n'ont pas nécessairement la même dépendance angulaire et spatiale. Ceci implique que va dépendre de pour donné.

De ce fait, l'approximation la plus simple conduira à des résultats médiocres sur le spectre calculé mais peut s'avérer suffisante si l'on ne s'intéresse qu'à l'aspect énergétique à condition de prendre un nombre suffisant de bandes : quelques dizaines à quelques milliers suivant la méthode de résolution et la précision recherchée.

Compte tenu de la complexité du problème des méthodes plus précises utilisent une connaissance a priori

  • soit sur la forme du coefficient d'absorption, auquel cas on peut définir une approximation par l'intermédiaire d'un coefficient pour une direction donnée[5],[6]. On ne peut donc utiliser ce type de méthode dans les problèmes multidimensionnels que lorsque la méthode de résolution résulte de la superposition de problèmes unidimensionnels (lancer de rayons, méthode , etc.).
  • soit parce que l'on connaît la forme de la luminance comme dans les méthodes de moments.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le vocabulaire est défini par l'ISO 80000-7[1]. Le terme "intensité" très utilisé dans les ouvrages d'astrophysique est à proscrire : il a une signification différente dans la norme.
  2. a et b Le terme de diffusion pour la redistribution angulaire peut induire une confusion avec la notion d'équation de diffusion. La phrase "l'équation de diffusion ne comporte pas de terme de diffusion" est physiquement correcte mais pas très heureuse.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dimitri Mihalas, Barbara Weibel Mihalas, Foundations of Radiation Hydrodynamics, Oxford University Press, 1984 (ISBN 0-19-503437-6) [présentation en ligne]
  2. a, b et c (en) Gerald C. Pomraning, The Equations of Radiation Hydrodynamics, Pergamon Press, 2010 (ISBN 0-08-016893-0)
  3. (en)Subrahmanyan Chandrasekhar, Radiative transfer, Courier Dover Publications, 1960 (ISBN 0486-6059-06) [présentation en ligne]
  4. (en) Dimitri Mihalas, Stellar atmospheres, W. H. Freeman, 1970 (ISBN 0716-7033-35) [présentation en ligne]
  5. a, b et c (en) Richard M. Goody and Yuk Ling Yung, Atmospheric Radiation. Theoretical Basis, Oxford University Press, 1989 (ISBN 0-19-510291-6)
  6. a, b et c (en) Michael M. Modest, Radiative Heat Transfer, Academic Press, 2003 (ISBN 0-12-503163-7)
  7. a et b (en) John R. Howell, M. Pinar Menguç, Robert Siegel, Thermal Radiation Heat Transfer, CRC Press, 2010 (ISBN 1-43-980533-4)
  8. Jean Taine, Franck Enguehard, Estelle Iacona, Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie., Dunod, 2014 (ISBN 978-2-10-071014-0)
  9. (en) Jeffrey J. McConnell, Anthony Ralston, Edwin D. Reilly, David Hemmendinger, Computer Graphics Companion, Wiley, 2002 (ISBN 978-0-470-86516-3)
  10. (en) Weston M. Stacey, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, 2001 (ISBN 0-471-39127-1)
  11. a et b Monographie CEA, Les méthodes de la neutronique, [2]
  12. (en) Ervin B. Podgoršak, Radiation Physics for Medical Physicists, Springer, 2006 (ISBN 3-540-25041-7)
  13. (en) Committee on Data for Science and Technology (CODATA), in The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty, 2010 [présentation en ligne]
  14. (en) Huey Tynes, A Monte Carlo Approach to Radiative Transfer: Solutions for Scattering Systems, VDM Verlag, 2009 (ISBN 3-63-920169-8)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Codes de calcul librement accessibles[modifier | modifier le code]

  • Génération et traitement d'image Blender ou [3] Mitsuba renderer
  • Calcul en ligne de diffusion de Mie sur une sphère [4] Mie Scattering Calculator
  • Transferts dans l'atmosphère: de nombreux codes sont décrits dans l'article de Wikipédia Atmospheric radiative transfer codes [5]
  • Codes Monte-Carlo pour le dépôt de particules dans la matière [6] Geant4, [7], Penelope
  • Code général hydrodynamique-rayonnement pour l'astrophysique [8] 3D parallel code for hydrodynamics, MHD, radiative transfer and gravity

Bases de données librement accessibles[modifier | modifier le code]

  • Émission et d'absorption dans un milieux gazeux [9] Line-by-line radiative code SPARTAN
  • Base de données pour les calculs atmosphériques ou la combustion [10] The HITRAN Database
  • Base de données pour les calculs atmosphériques [11] GEISA : spectroscopic database
  • Base de données pour l'astrophysique [12] TIPbase
  • Bases de données pour la physique des plasmas et l'astrophysique [13] Atomic and Molecular Spectroscopic Data
  • Répertoire de diverses bases [14] Plasma Laboratory - Weizmann Institute of Science