Système exhaustif

En théorie des probabilités, un système exhaustif (ou système complet) d'évènements est en langage probabiliste l'analogue d'une partition en langage ensembliste.

Système exhaustif[modifier | modifier le code]

Des évènements forment un système exhaustif s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est l'univers tout entier.

Plus formellement, si $(\Omega ,{\mathcal {E}})$ est un espace probabilisable, on dit qu'une famille $(B_{i})_{i\in I}$ d'éléments de ${\mathcal {E}}$ indexée par un ensemble $I$ est un système exhaustif ou un système complet si

$\forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$ ;
$\bigcup _{i\in I}B_{i}=\Omega$ .

En particulier, toute partition de l'univers $\Omega$ est un système exhaustif (une partition exige en plus que chaque évènement soit non vide).

Par exemple, si $A$ est un évènement, alors la famille $(A,{\overline {A}})$ , où $A$ est l'évènement contraire de $A$ , est un système exhaustif.

Système quasi-exhaustif[modifier | modifier le code]

Des évènements forment un système quasi exhaustif (ou quasi complet) s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est un événement quasi-certain, c'est-à-dire dont la probabilité vaut 1 (en lieu et place de la condition « leur réunion est l’univers tout entier »).

Plus formellement, si $(\Omega ,{\mathcal {E}},\mathbb {P} )$ est un espace de probabilité, on dit qu'une famille $(B_{i})_{i\in I}$ d'éléments de ${\mathcal {E}}$ indexée par un ensemble $I$ est un système quasi-exhaustif ou un système quasi complet si

$\forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$ ;
$\mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i\in I}B_{i}{\Big )}=1$ .

Un système exhaustif est en particulier un système quasi-exhaustif, puisque l'univers est un évènement quasi-certain (autrement dit $\mathbb {P} (\Omega )=1$ ).

Par exemple, si on s'intéresse à une série infinie de lancers de pièce de monnaie et si on définit, pour tout entier naturel $i$ non nul, l'évènement $B_{i}$ correspondant à « pile apparait pour la première fois au $i$ -ième lancer », alors $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}$ est un système quasi-exhaustif. Ce n'est pas un système exhaustif car la réunion n'est pas égale à l'univers tout entier (l'évènement « obtenir face à chaque lancer » n'appartient pas à cette famille).

À noter que certains auteurs utilisent la dénomination système exhaustif (ou système complet)) pour parler d'un système quasi-exhaustif (ou système quasi-complet)^[1].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Jean-Yves Ouvrard, Probabilités 1 licence capes, Paris, Cassini, 244 p. (ISBN 978-2-84225-130-7)

Portail des probabilités et de la statistique

[1] Jean-Yves Ouvrard, Probabilités 1 licence capes, Paris, Cassini, 244 p. (ISBN 978-2-84225-130-7)

[1]