Système d'Anosov

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En théorie des systèmes dynamiques, un système d'Anosov est un système hyperbolique, qui présente une dynamique extrêmement chaotique.


Définition[modifier | modifier le code]

Notion de système dynamique différentiel[modifier | modifier le code]

Un système dynamique différentiel est défini par une application bijective \phi_t : \Gamma \to \Gamma de l'espace des phases du système sur lui-même, telle qu'à une condition initiale x_0 soit associé un et un seul état futur à l'instant t (condition de déterminisme) :

x(t) \ = \ \phi_t(x_0)

Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur \Gamma , c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre \phi_t tel que :

\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}
\forall \ (t,s) \, \in \, \mathbb{R}^2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}

Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique sur une variété riemannienne.

La propriété d'hyperbolicité[modifier | modifier le code]

L'hyperbolicité de l'espace des phases a été mise en évidence par Dmitri Anosov par analogie avec le flot géodésique de surfaces à courbure négative de la géométrie hyperbolique.

Typiquement pour un flot hamiltonien, l'hypersurface d'énergie constante S_E de l'espace des phases admet presque partout une décomposition du type :

S_E \ = \ E_0 \ \oplus \ E_S \ \oplus \ E_I

où :

  • E_0 est une variété à une dimension dans la direction du flot.
  • E_S est le sous-espace des directions stables, directions perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a contraction exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov négatifs (cette variété est donc instable vers le passé.)
  • E_I est le sous-espace des directions instables, directions également perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a dilatation exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov positifs (cette variété est donc stable vers le passé.).

Le fait qu'il existe nécessairement certaines directions contractantes complémentaires aux directions dilatantes peut être vu comme une conséquence du théorème de Liouville, qui dit que le flot hamiltonien préserve le volume dans l'espace des phases.

Pour un système chaotique dissipatif, il n'y a pas nécessairement de directions contractantes partout dans l'espace des phases, mais il existe en général au moins un sous-ensemble « attracteur » dans cet espace des phases sur lequel la dynamique est hyperbolique presque partout.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) D. Anosov, « Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature », Proceedings of the Steklov Mathematical Institute, vol. 90, no  1, 1967, p. 1-235

Ouvrages d'initiation[modifier | modifier le code]

Ouvrages plus techniques[modifier | modifier le code]

Bibliothèque virtuelle[modifier | modifier le code]

  • Paul Manneville, Systèmes dynamiques et chaos, 1998, 233 pages [lire en ligne]
    Cours donné par l'auteur (LadHyX, École Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique.
  • (en) David Ruelle, « Ergodic theory of differentiable dynamical systems », Publ. Math. IHES, vol. 50, 1979, p. 27-58 [lire en ligne]