Système d'équations (mathématiques élémentaires)

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En mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple :

Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément.

La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non-linéaires en analyse numérique. Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'élimination de Gauss-Jordan ou par la décomposition de Cholesky ou encore par la décomposition LU. Dans les cas simples, la règle de Cramer peut également être appliquée.

Définitions mathématiques[modifier | modifier le code]

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

sont les inconnues et les nombres sont les coefficients du système.

Exemple : est un système de deux équations à deux inconnues.

Résoudre , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.

Le système est linéaire s'il existe des nombres réels tels que soit de la forme : .

Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme matricielle :

avec :

Système homogène[modifier | modifier le code]

Un système de la forme :

est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tous les systèmes homogènes admettent au moins une solution :

Cette solution est la solution nulle ou triviale.

Nombre de solutions d’un système d'équations[modifier | modifier le code]

Si le corps est infini (comme c'est le cas pour les nombres réels et pour les nombres complexes) alors seulement les trois cas suivants sont possibles pour n'importe quel système donné d'équations linéaires :

  • le système n'a pas de solution ;
  • le système a un unique n-uplet solution ;
  • le système a une infinité de n-uplets solutions.

Il n'existe de règle plus précise que pour un système d'équations linéaires indépendantes. Il existe alors :

  • une unique solution lorsque le nombre d'équations est égal au nombre d’inconnues ;
  • aucune solution lorsque le nombre d'équations est strictement supérieur au nombre d'inconnues ;
  • une infinité de solutions (sur un corps infini) lorsque le nombre d'équations est strictement inférieur au nombre d'inconnues (par exemple, un système de deux équations cartésiennes de plans, dans un espace à trois dimensions, permet d'obtenir l'équation paramétrique d'une droite lorsque ces plans sont sécants).

Sur un corps infini, si un système homogène comporte strictement moins d'équations que d'inconnues alors il admet une infinité de solutions.

Exemple d'équation à 2 inconnues ayant une infinité de solutions[modifier | modifier le code]

L'équation a une infinité de solutions. Si on prend pour la valeur , on obtient :

  •  ;
  • .

Plus généralement, si est un nombre quelconque, doit absolument valoir

  • .

Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues[modifier | modifier le code]

Le type le plus simple de système linéaire implique deux équations et deux variables :

On peut résoudre un tel système par substitution.

Interprétation graphique[modifier | modifier le code]

Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du système définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère. Or :

  • les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de  ;
  • deux droites ont :
    • soit un unique point d'intersection ;
    • soit aucun point d'intersection ;
    • soit une infinité de points d'intersection.

D'où le théorème suivant :

Théorème 1 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :

  • soit une unique solution ;
  • soit aucune solution ;
  • soit une infinité de solutions.

On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations)  :

Théorème 2 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et seulement si, le nombre est non nul, c'est-à-dire :.

On appelle le déterminant du système (S).

Exemple de résolution graphique : Soit le système : .

La première équation équivaut à (voir plus haut).

La deuxième équation équivaut à :

  • ;
  • ;
  • .

En traçant les droites d'équations respectives et , on voit que leur point d'intersection est .La solution (approximative) du système est et .

Résolution algébrique[modifier | modifier le code]

L'élimination de Gauss-Jordan, mentionnée ci-dessus, s'applique à tous ces systèmes, même si les coefficients viennent d'un corps arbitraire.

Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.

Méthode par substitution[modifier | modifier le code]

Reprenons par exemple le système :

Exprimons en fonction de dans la première équation. On obtient . Remplaçons donc par dans la deuxième équation. On a :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

Or, . Donc on obtient : .

La solution du système est le couple .

Méthode par combinaison ou élimination[modifier | modifier le code]

Cette méthode est aussi appelée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le système : .

Pour éliminer , multiplions la deuxième ligne par et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a : puis et l'addition donne :
. En résolvant cette équation, on obtient .

Remplaçons par dans la première ligne. On obtient :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

On retrouve la solution

Cas général[modifier | modifier le code]

D'une manière générale, pour un système sous la forme : , pour lequel le déterminant est non nul, on a et .

Système de 3 équations à 3 inconnues[modifier | modifier le code]

Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

Méthode par substitution[modifier | modifier le code]

.

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : .

Maintenant on remplace l'inconnue dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition.

.

Après avoir trouvé et , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver .

Méthode par élimination[modifier | modifier le code]

.

Pour résoudre ce système, on peut éliminer par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations - 2 × [1] + [2] et [1] + [3]. Le système obtenu est alors équivalent au système

.

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le système est alors équivalent au système triangulaire suivant :

L'équation [3"] permet de trouver , qui remplacé dans l'équation [2'] permet de trouver . Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] permettent de trouver

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.

Notes et références[modifier | modifier le code]