Surface romaine

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Une animation de la surface romaine

La surface romaine (ainsi appelée parce que Jakob Steiner était à Rome quand il la conçut) est une application auto-intersectante du plan projectif réel dans l'espace à trois dimensions, avec un haut degré de symétrie. Cette application est localement un plongement topologique, mais n'est pas une immersion (au sens différentiel) du plan projectif ; cependant elle en devient une lorsqu'on enlève de l'image six points singuliers[1].

La construction la plus simple est obtenue par l'image d'une sphère centrée à l'origine sous la carte : f(x,y,z) = (yz,xz,xy). Cela fournit une formule implicite de

De même, prenant une paramétrisation de la sphère en termes de longitude (θ) et latitude (φ), on obtient les équations paramétriques de la surface Romaine comme suit :

x = r2 cos θ cos φ sin φ
y = r2 sin θ cos φ sin φ
z = r2 cos θ sin θ cos2 φ

L'origine est un point triple et chacun des plans xy, yz, et xz est tangent à la surface. Les autres points d'auto-intersection sont des points doubles, définissant le long des trois axes des segments dont les extrémités sont des points cuspidaux (en) [réf. souhaitée]. Cette surface possède la symétrie du tétraèdre. C'est un type particulier (le type 1) de surface de Steiner, qui est une projection linéaire à 3 dimensions d'une surface de Véronèse à 5 dimensions, qui est la représentation naturelle d'un espace projectif à 5 dimensions.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Roman surface » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Jeffrey M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, AMS, (lire en ligne), p. 141.