Surface réglée standard

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une surface réglée standard est une variété algébrique, qui propose un modèle simple de surface réglée. On obtient ainsi une classification de toutes les surfaces réglées à isomorphisme algébrique près. désigne dans ce langage l'unique surface réglée possédant une courbe géométriquement intègre d'autointersection .

Version naïve[modifier | modifier le code]

Ici, désigne un corps de caractéristique zéro. On réalise une -forme de cette surface pour tout entier, on note le fibré défini de la façon suivante :

On considère deux copies de , que l'on recolle par l'isomorphisme défini par et .

désignant un système de coordonnées homogènes de la droite projective , fibré au-dessus de la droite affine , dans la première carte.

On note et les ouverts (au sens de la topologie de Zariski) isomorphes à ainsi obtenus.

Les deux morphismes de sur et de sur

se recollent en un morphisme de sur qui fait de une surface réglée.

La surface obtenue est appelée surface réglée standard d'indice d'autointersection .

Groupes de diviseurs[modifier | modifier le code]

Quelques courbes tracées sur [modifier | modifier le code]

On définit d'abord des -courbes :

la courbe de trace sur et sur

la courbe de trace sur et sur .

Pour tout (la clôture algébrique de k), on note la fibre de au-dessus de

On observe en second lieu qu'il s'agit de courbes géométriquement intègres, dont on peut calculer les intersections.

Intersections des k-courbes

  • Les courbes et, pour tout la fibre sont des courbes géométriquement intègres.
  • De plus , et
  • Pour tout on a

Ces résultats proviennent essentiellement du fait suivant : Le diviseur de la fonction de définie par est ainsi et donc

Le groupe de Picard[modifier | modifier le code]

Définition d'une base des diviseurs

On note la classe des diviseurs de la fibre et la classe de la courbe .

Par commodité, on note de sorte que  ;  ;  ;

Une description classique du groupe des diviseurs montre alors que .

Enfin on calcule sans difficulté la classe canonique de en explicitant une forme sur . On obtient

Intérêt de la représentation[modifier | modifier le code]

Voici une représentation concrète des surfaces réglées standard dans lesquelles le calcul du groupe de Picard s'effectue de façon relativement immédiate[1].

Pour toutes ces surfaces, il est isomomorphe à . Cela se comprend intuitivement, les générateurs de ce groupe étant donnés par exemple par les diviseurs , qui est celui d'une fibre et par le diviseur de restriction sur la carte .

Connaissant la classe des diviseurs (dans le groupe de Picard, ) associée à une courbe tracée sur la surface réglée, on peut donc aisément en donner le genre arithmétique d'une courbe.

Un exemple[modifier | modifier le code]

Si désigne un polynôme de degré sans facteur multiple, on note le polynôme réciproque de .

La courbe définie par sa trace sur par l'équation cartésienne

et par l'équation sur la seconde carte

a pour classe de Picard associée : et pour genre arithmétique : .

Plus généralement, on peut lire assez facilement sur l'équation cartésienne de la trace d'une courbe dans l'ouvert , sa classe de Picard, et son genre.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. cat.inist.fr Un exemple d'étude du groupe de Picard des surfaces réglées.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]