Suite de Farey

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En mathématiques, la suite de Farey d'ordre n est la suite des fractions irréductibles comprises entre 0 et 1, ordonnées en croissant et dont le dénominateur est inférieur ou égal à n.

Chaque suite de Farey commence avec la valeur 0, décrite par la fraction 0/1, et finit avec la valeur 1, décrite par la fraction 1/1 (bien que certains auteurs omettent ces termes). Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les suites de Farey d'ordre 1 à 8 sont :

F_1 = \left(\frac 01,\, \frac 11 \right)
F_2 = \left(\frac 01,\, \frac12,\, \frac 11 \right)
F_3 = \left(\frac 01,\, \frac13,\, \frac12,\, \frac23,\, \frac11 \right)
F_4 = \left(\frac 01,\, \frac14,\, \frac13,\, \frac12,\, \frac23,\, \frac34,\, \frac11 \right)
F_5 = \left(\frac 01,\, \frac15,\, \frac14,\, \frac13,\, \frac25,\, \frac12,\, \frac35,\, \frac23,\, \frac34,\, \frac45,\, \frac11 \right)
F_6 = \left(\frac 01,\, \frac16,\, \frac15,\, \frac14,\, \frac13,\, \frac25,\, \frac12,\, \frac35,\, \frac23,\, \frac34,\, \frac45,\, \frac56,\, \frac11 \right)
F_7 = \left(\frac 01,\, \frac17,\, \frac16,\, \frac15,\, \frac14,\, \frac27,\, \frac13,\, \frac25,\, \frac37,\, \frac12,\, \frac47,\, \frac35,\, \frac23,\, \frac57,\, \frac34,\, \frac45,\, \frac56,\, \frac 67,\, \frac11 \right)
F_8 = \left(\frac 01,\, \frac18,\, \frac17,\, \frac16,\, \frac15,\, \frac14,\, \frac27,\, \frac13,\, \frac38,\, \frac25,\, \frac37,\, \frac12,\, \frac47,\, \frac35,\, \frac58,\, \frac23,\, \frac57,\, \frac34,\, \frac45,\, \frac56,\, \frac 67,\, \frac78,\, \frac11 \right)

Histoire[modifier | modifier le code]

L'histoire des 'séries de Farey' est très curieuse — Hardy & Wright (1979) Chapitre III
... une fois encore, l'homme dont le nom fut donné à la relation mathématique n'était pas celui qui l'a découverte. — Beiler (1964) Chapitre XVI

Les suites de Farey furent nommées en l'honneur du géologue britannique, Sir John Farey. Sa lettre à propos de ces suites fut publiée dans le Philosophical Magazine en 1816. Farey conjectura que chaque terme dans une telle suite est le médian de ses voisins — néanmoins, à ce que l'on connaît, il ne prouva pas cette propriété. La lettre de Farey fut lue par Cauchy, qui donna la preuve dans ses Exercices de mathématique, et attribua ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, Charles Haros (en), publia des résultats similaires en 1802 qui ne fut pourtant certainement pas autant connu que Farey ou Cauchy. Ainsi, c'est un accident historique qui relie le nom de Farey à ces suites.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Nombre de termes d'une suite de Farey[modifier | modifier le code]

La suite de Farey d'ordre n contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur. En particulier, F_n contient tous les éléments de la suite F_{n-1}, ainsi qu'une fraction supplémentaire pour chaque entier inférieur à n et premier avec n. Ainsi, la suite F_6 est composée des éléments de la suite F_5 auxquels il faut ajouter les fractions 1/6 et 5/6. Le terme médian d'une suite de Farey est toujours 1/2, lorsque n > 1.

Il est possible de relier le nombre de termes de F_n (noté |F_n|) et celui de F_{n-1} en utilisant l'indicatrice d'Euler \varphi\, :

|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n)

En utilisant le fait que |F_1| = 2, le nombre de termes de F_n peut donc s'exprimer en fonction de n de la façon suivante :

|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)

Le comportement asymptotique de |F_n| est :

|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}

Les voisins dans une suite de Farey[modifier | modifier le code]

Deux fractions consécutives dans une suite de Farey F_n sont dites voisines ou consécutives à l'ordre n. Par exemple les fractions 3/5 et 2/3 sont voisines aux ordres 5, 6 et 7.

La notion de voisinage est relative à la suite considérée: deux fractions voisines à l'ordre n peuvent ne plus l'être à l'ordre p pour un p plus grand. Par exemple 3/5 et 2/3 ne sont plus voisines dans F_8 puisque 5/8 est venue s'intercaler entre les deux.

Mathématiquement, deux fractions irréductibles a/b et a'/b' sont voisines à l'ordre n si a/b < a'/b' et si il n'y a aucune autre fraction dans F_n qui soit comprise entre a/b et a'/b', c'est-à-dire si pour toute fraction c/d telle que a/b < c/d < a'/b' on a d > n.

La propriété fondamentale des suites de Farey est une caractérisation très simple de la relation de voisinage:

Deux fractions irréductibles a/b et a'/b' sont consécutives à l'ordre \max(b, b') ssi la relation a'b - ab' = 1 est vérifiée.

En divisant les deux membres par bb' on voit que la relation peut également s'écrire:

\frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} = 1/bb'.

La quantité a'b -ab' est parfois appelée produit en croix ou déterminant des deux fractions; elle dépend de la représentation choisie des deux fractions aussi il faut bien supposer dans la propriété ci-dessus que les deux fractions sont en forme irréductibles (ce qui est implicite dans la définition de consécutives). Par exemple si on considère les fractions 3/5 et 2/3 qui sont voisines dans F_5 leur produit en croix est 2\times5 - 3\times3 qui est bien égal à 1. Mais si on considère une représentation non irréductible des deux mêmes fractions, par exemple 9/15 et 4/6, alors leur produit en croix est 4\times15 - 9\times6 = 6.

Attention également à la condition sur l'ordre de la suite de Farey considérée: le fait que la relation est vérifiée n'implique pas que les deux fractions sont voisines dans toutes les suites de Farey; en fait on va voir qu'elles sont voisines jusqu'à l'ordre b+b' mais plus après. Ainsi 3/5 et 2/3 sont voisines aux ordres 5 = \max(5, 3), 6 et 7 mais plus à l'ordre 8 = 5 + 3.

La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si a/b et a'/b' sont consécutives dans la suite d'ordre \max(b, b') et si c/d est la fraction médiane:

\frac{c}{d} = \frac{a+a'}{b+b'}

alors les fractions a/b, c/d et a'/b' sont consécutives dans la suite d'ordre b+b'.

Par exemple si on reprend les deux fractions 3/5 et 2/3 voisines dans F_5, on a vu que la première fraction à s'intercaler est 5/8 qui est bien la médiane.

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement. On se place dans le plan euclidien, on nomme O l'origine du repère; à la fraction a/b on associe le point A de coordonnées (b, a); ainsi a/b est la pente de la droite du plan (OA) issue de O et passant par A. Si A' est le point de coordonnées (b', a') associé à la fraction a'/b'alors le milieu de A et A' a pour coordonnées (b+b')/2 et (a+a')/2; on voit que la fraction médiane (a+a')/(b+b') est alors la pente de la médiane issue de O du triangle (OAA').

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que a/b et a'/b' sont irréductibles, la fraction médiane (a+a')/(b+b') est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a: 3/5 = 9/15 et 2/3 = 6/9 mais la médiane de 3/5 et 2/3 est 5/8 tandis que celle de 9/15 et 6/9 est 15/24 = 5/6 qui n'est pas égale à 5/8.Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambigüité.

La propriété admet une réciproque: si a/b, c/d et a'/b' sont consécutives dans une suite d'ordre n alors c/d est la médiane de a/b et c/d; il se peut toutefois, lorsque a/b et a'/b' ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions 3/5, 2/3 et 5/7 qui sont consécutives dans la suite F_7 la fraction médiane de 3/5 et 5/7 est 8/12 qui n'est pas irréductible mais redonne 2/3 après simplification. De fait 3/5 et 5/7 ne sont voisines dans aucune suite.

Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue: si a/b admet le développement en fraction continue:

[a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n, 1]

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre b ont pour développement en fraction continue

[a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n]
[a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}]

Ainsi 3/8 a pour développement en fraction continue [0, 2, 1, 1, 1], et ses voisines dans F_8 sont 2/5 qui admet le développement [0, 2, 1, 1] et 1/3 qui se développe en [0, 2 ,1].

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (= 0/1) et l'infini (= 1/0)

Article détaillé : Arbre de Stern-Brocot.

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Cercles de Ford[modifier | modifier le code]

Il existe une relation intéressante entre les suites de Farey et les cercles de Ford.

Pour toute fraction (réduite) p/q il existe un cercle de Ford C[p/q], qui est le cercle de rayon 1/2q^2 et de centre (p/q, 1/2q^2). Les cercles de Ford correspondant à deux fractions distinctes sont soit disjoints soit tangents - deux cercles de Ford ne peuvent pas être sécants. Si 0 < p/q < 1, alors les cercles de Ford qui sont tangents à C[p/q] sont précisément les cercles de Ford associés aux fractions qui sont voisines de p/q dans une suite de Farey.

Ainsi C[2/5] est tangent à C[1/2], C[1/3], C[3/7], C[3/8], etc.

Article détaillé : Cercle de Ford.

Hypothèse de Riemann[modifier | modifier le code]

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann. Supposons que les termes de F_n\, soient \{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots m_n\}. Définissons d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n, en d'autres mots d_{k,n} est la différence entre le k-ème terme de la n-ème suite de Farey, et le k-ème membre d'un ensemble de même nombre de points, distribués également sur l'intervalle unité. Jérôme Franel[1] a démontré que l'assertion

\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O(n^r) \quad  \forall r>-1

est équivalente à l'hypothèse de Riemann, puis Landau[2] a remarqué, à la suite de l'article de Franel, que l'assertion

\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O(n^r)\quad   \forall r>1/2

y est également équivalente.


(O(n^r) est la notation de domination de Landau)

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Un algorithme simple[modifier | modifier le code]

De manière surprenante, un algorithme simple existe pour engendrer les termes dans un ordre, soit traditionnel (ascendant), soit non-traditionnel (descendant) :

 100   'Code UBASIC pour engendrer une Suite de Farey d'ordre N dans l'ordre traditionnel
 110   N=7:NumTerms=1
 120   A=0:B=1:C=1:D=N
 140   print A;B
 150   while (C<N)
 160      NumTerms=NumTerms+1
 170      K=int((N+B)/D)
 180      E=K*C-A:F=K*D-B
 190      A=C:B=D:C=E:D=F:print A;B
 200   wend
 210   print NumTerms
 220   end

Cet algorithme se déduit du fait que, si a/b et c/d sont deux termes successifs dans une suite de Farey alors les successeurs de c/d sont tous de la forme (kc - a)/(kd - b). Pour trouver le successeur à l'ordre n il faut trouver le plus grand k tel que kd - b \leq n et celui-ci est fourni par la partie entière du quotient de n+b par d.

Pour engendrer la suite dans un ordre descendant (non-traditionnel) :

 120   A=1:B=1:C=N-1:D=N
 150   while (A>0)

Des recherches en force brute pour les solutions d'équations diophantiennes rationnelles peuvent souvent prendre l'avantage sur les suites de Farey (pour chercher seulement celles en formes réduites); la ligne 120 peut aussi être modifiée pour inclure deux termes adjacents quelconques afin d'engendrer seulement les termes plus grands (ou plus petits) qu'un terme donné.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. "Les suites de Farey et le théorème des nombres premiers", Gött. Nachr. 1924, 198-201
  2. "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel", Gött. Nachr. 1924, 202-206

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]