Statistique exhaustive

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Les statistiques exhaustives sont liées à la notion d'information et en particulier à l'information de Fisher. Elles servent entre autres à améliorer des estimateurs grâce à l'usage du théorème de Rao-Blackwell et du théorème de Lehman-Scheffé.

Intuitivement, parler d'une statistique exhaustive revient à dire que cette statistique contient l'ensemble de l'information sur le(s) paramètre(s) de la loi de probabilité.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un vecteur d'observation de taille , dont les composantes sont indépendantes et identiquement distribués (iid). Soit un paramètre influant sur la loi de probabilité à laquelle sont soumis les . Une statistique est dite exhaustive (pour le paramètre ) si la probabilité conditionnelle d'observer sachant est indépendante de . Cela peut se traduire par la formule suivante :

En pratique l'on se sert peu de cette formule pour montrer qu'une statistique est exhaustive et l'on préfère en règle générale utiliser le critère suivant appelé critère de factorisation (parfois aussi appelé critère de Fisher-Neyman):

Soit la densité de probabilité du vecteur d'observation . Une statistique est exhaustive si et seulement s'il existe deux fonctions g et h telles que:

Un premier exemple: le modèle exponentiellement distribué[modifier | modifier le code]

Si est un vecteur d'observation de variables iid de loi exponentielle de paramètre alors est une statistique exhaustive.

En effet la densité de est donné par: qui peut se factoriser comme: .

Ici on a mais ce n'est pas toujours le cas.

Un deuxième exemple: la distribution de Poisson[modifier | modifier le code]

Soient des variables iid de distribution de Poisson de paramètre , alors est une statistique exhaustive.

La densité de la loi de est :

La densité de la loi de est le produit des densités des car ils sont iid donc :

Le critère de factorisation est satisfait avec

Information apportée par une statistique exhaustive[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de l'information de Fisher pour une statistique on a les deux résultats suivants :

  • Pour une statistique exhaustive on a ce qui permet de voir une statistique exhaustive comme une statistique comprenant toute l'information du modèle. On a aussi la réciproque à savoir que si alors S est exhaustif bien que cette caractérisation soit rarement utilisée dans ce sens. La définition reposant sur le critère de factorisation des statistiques exhaustives est souvent plus maniable.
  • Quelle que soit la statistique S, avec un cas d'égalité uniquement pour des statistiques exhaustives. On ne peut donc récupérer plus d'information que celle contenue dans une statistique exhaustive. Ceci explique en grande partie l'intérêt des statistiques exhaustives pour l'estimation. La relation d'ordre est ici la relation d'ordre partielle sur les matrices symétriques à savoir qu'une matrice si est une matrice symétrique positive.