Stabilité EBSB

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La stabilité EBSB est une forme particulière de stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique, en traitement du signal et plus spécifiquement en électrotechnique. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée : si un système est stable EBSB, alors pour toute entrée bornée, la sortie du système l’est également.

Condition dans le domaine temporel[modifier | modifier le code]

Un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction transfert est rationnelle et strictement propre[1] est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme existe :


En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. si sa norme existe :

Démonstration[modifier | modifier le code]

Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.

Condition nécessaire[modifier | modifier le code]

À l’entrée bornée correspond la sortie satisfaisant

est le produit de convolution, c'est-à-dire :

En particulier

Ainsi puisque est borné.

Condition suffisante[modifier | modifier le code]

Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire , et supposons . Alors la sortie satisfait

(par l'inégalité triangulaire)

Ainsi est également borné.

Condition dans le domaine fréquentiel[modifier | modifier le code]

Signal continu[modifier | modifier le code]

Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles (racines complexes du dénominateur) et l’abscisse de convergence définie par , on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .

Preuve[modifier | modifier le code]

Puisque est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle ,

et le domaine de convergence est le demi-plan .


Si le système est stable EBSB, alors est dans et il y a convergence en puisque

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent


Supposons . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, est de la forme

en supposant, pour simplifier, que les pôles de sont simples. La transformée inverse de Laplace donne

qui est dans et le système est stable EBSB.

Signal discret[modifier | modifier le code]

Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert est supposée être rationnelle. En notant les pôles et le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si .

Preuve[modifier | modifier le code]

Puisque est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle ,

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un cercle, soit .


Si le système est stable EBSB, alors est dans et il y a convergence en puisque

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent


Supposons . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, est de la forme

en supposant, pour simplifier, que les pôles de sont simples. L’inverse de la transformée en z donne

qui est dans et le système est stable EBSB.

Critères de Stabilité[modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un système physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères :

Ces critères permettent uniquement de déterminer si le système est stable ou non, mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité, c'est-à-dire si le système est plus ou moins stable. Pour apprécier ce fameux degré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de qualité par exemple.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En termes de représentation d'état, cela signifie que l'on se restreint aux systèmes de dimension finie sans terme direct. Par exemple, un système constitué d'un gain pur (resp. d'un dérivateur pur) a pour réponse impulsionnelle la distribution de Dirac (resp. sa dérivée) qui n'est pas une fonction.

Voir aussi[modifier | modifier le code]