Sorcière d'Agnesi
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En mathématiques, la courbe d'Agnesi est une courbe particulièrement étudiée par Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799).
On appelle souvent cette courbe la « sorcière d'Agnesi », à la suite d'une erreur de traduction depuis l'italien.
La courbe[modifier | modifier le code]
Définition[modifier | modifier le code]
Elle est définie comme suit :
- sur un cercle fixe, on choisit un point O ; le point M est diamétralement opposé à O ;
- à partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante [OA) ;
- l'intersection de la droite (OA) et de la tangente au cercle en M se fait au point N ;
- la droite parallèle à (OM) passant par N, et la droite perpendiculaire à (OM) passant par A, se rencontrent en P ;
- la courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.
La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.
Équations[modifier | modifier le code]
On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le diamètre du cercle est a.
L'équation cartésienne de la courbe est alors : .
Si x = 0, y = a.
Paramétriquement, si θ est l'angle (OM, OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :
Propriétés[modifier | modifier le code]
- La surface comprise entre la courbe et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit π a2.
- Le volume délimité par la surface de révolution autour de l'asymptote est de 4 π2 a3.
- Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées (0, a/2), soit au centre du cercle.
Histoire[modifier | modifier le code]
Cette courbe a été étudiée par Pierre de Fermat, par Guido Grandi en 1703 (il lui donne le nom de versiera[1] dans Quadratura circuli et hyperbolae, Pise, 1703) et par Maria Gaetana Agnesi en 1748 dans Instituzioni analitiche[2].
En italien, on l'appelle la versiera di Agnesi. Elle a pris son nom de « sorcière » à la suite d'une erreur de John Colson, professeur lucasien à Cambridge, traducteur d'Agnesi, qui confond la versiera avec l'avversiera (la sorcière)[3]. On ne sait pas si Colson, mort depuis quarante ans au moment de la publication, aurait corrigé cette erreur.
À l'occasion du 296e anniversaire de la naissance de Maria Gaetana Agnesi, Google [1] lui dédie un doodle avec une animation de la construction de la courbe.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- du latin versoria, cordage qui sert à porter la voile d'un bord à l'autre.
- (it) Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, Tome I, p. 380, probleme III, §238 (numérisation e-rara.ch)
- C. Truesdell, « Maria Gaetana Agnesi », Arch. Hist. Exact. Sci, vol. 40, no 2, , p. 113-142
Liens externes[modifier | modifier le code]
- (en) Engines of Our Ingenuity. Episode No. 217: The Witch of Agnesi par John H. Lienhard
