Sorcière d'Agnesi

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En mathématiques, la courbe d'Agnesi est une courbe particulièrement étudiée par Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799).

On appelle souvent cette courbe la « sorcière d'Agnesi », à la suite d'une erreur de traduction depuis l'italien.

La courbe[modifier | modifier le code]

WitchOfAgnesi03a.png

Définition[modifier | modifier le code]

Elle est définie comme suit :

  • sur un cercle fixe, on choisit un point O; le point M est diamétralement opposé à O ;
  • à partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante [OA) ;
  • l'intersection de la droite (OA) et de la tangente au cercle en M se fait au point N ;
  • la droite parallèle à (OM) passant par N, et la droite perpendiculaire à (OM) passant par A, se rencontrent en P ;
  • la courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.

La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.

Équations[modifier | modifier le code]

Construction de la courbe d'Agnesi

On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le diamètre du cercle est a.

L'équation cartésienne de la courbe est alors : .

Si =0,

Paramétriquement, si est l'angle (OM, OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La surface comprise entre la courbe et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit .
  • Le volume délimité par la surface de révolution autour de l'asymptote est de .
  • Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées .

Histoire[modifier | modifier le code]

Cette courbe a été étudiée par Pierre de Fermat, par Guido Grandi en 1703 (il lui donne le nom de versiera[1] dans Quadratura circuli et hyperbolae, Pise, 1703) et par Maria Gaetana Agnesi en 1748 dans Instituzioni analitiche[2].

En italien, on l'appelle la versiera di Agnesi. Elle a pris son nom de « sorcière » à la suite d'une erreur de John Colson, professeur lucasien à Cambridge, traducteur d'Agnesi, qui confond la versiera avec l'avversiera (la sorcière)[3]. On ne sait pas si Colson, mort depuis quarante ans au moment de la publication, aurait corrigé cette erreur.

Pour commémorer le 296e anniversaire de la naissance de Maria Gaetana Agnesi, Google [1] lui dédie un doodle avec une animation de la construction de la courbe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. du latin versoria, cordage qui sert à porter la voile d'un bord à l'autre.
  2. (it) Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, Tome I, p. 380, probleme III, §238 (numérisation e-rara.ch)
  3. C. Truesdell, « Maria Gaetana Agnesi », Arch. Hist. Exact. Sci, vol. 40, no 2,‎ , p. 113-142

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