Somme d'ensembles

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En mathématiques, la somme d'ensembles est une opération qui possède deux définitions légèrement différentes selon l'usage qui en est fait.

En algèbre[modifier | modifier le code]

En algèbre, dans un demi-groupe M dont l'opération est notée additivement, la somme A + B de deux sous-ensembles A et B est l'ensemble

A+B=\{a+b\mid a \in A, b \in B\}.

Cette opération munit l'ensemble des parties de M d'une structure de demi-groupe dans lequel l'ensemble vide est absorbant. Si M possède un élément neutre 0, alors le singleton {0} est l'élément neutre pour l'opération induite.

C'est cette notion qui est utilisée dans les ensembles sans somme et la conjecture de Cameron-Erdős.

C'est aussi cette notion qui intervient en algèbre linéaire, sous le nom de somme de Minkowski ou de somme de deux sous-espaces vectoriels.

On définit de même A1 + … + An. Lorsque les Ak sont tous égaux à un même ensemble A, cette somme est notée nA dès que le contexte dissipe toute confusion avec l'image de A par l'homothétie de rapport n.

En théorie additive des nombres[modifier | modifier le code]

En théorie additive des nombres, la somme AB de deux ensembles d'entiers naturels A et B est définie[1] comme l'ensemble de toutes les sommes d'un élément de A avec un élément de B, en même temps que les éléments de A et de B, c'est-à-dire :

A \oplus B =(A + B) \cup A \cup B=\{a+b\mid a \in A, b \in B\}\cup A\cup B.

Si 0 appartient à la fois à A et B, alors AB coïncide avec A + B.

Cette notion est employée notamment dans la densité de Schnirelmann et dans l'énoncé du théorème des quatre carrés de Lagrange.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sumset » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) M. P. Erdős, « Problems and results in additive number theory », dans Colloque sur la théorie des nombres, Bruxelles, CBRM,‎ 1956 (lire en ligne), p. 127-137, p. 134

Articles connexes[modifier | modifier le code]