Somme télescopique

En analyse, l'expression série télescopique (ou somme télescopique) désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche. Cette situation est aussi appelée « méthode des différences ». Au lieu de l'expression « série télescopique » elle-même, on emploie parfois la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Si $(a_{n})$ est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général $a_{n+1}-a_{n}$. La convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite $(a_{n})$ :

$\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=a_{n}-a_{0}.$

Exemples

• L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a${\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned}}$ou, plus formellement,$(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.$
• La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture de cette forme ; par exemple, puisque${\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}},$on a (si $-\alpha \notin \mathbb {N}$) :${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha }}-{\frac {1}{k+\alpha +1}}\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1}}-{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha }}+\left(-{\frac {1}{\alpha +1}}+{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2}}+{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha }}.\end{aligned}}$
• De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$
• Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que${\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned}}$(mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).