Liste de suites de nombres premiers

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Article principal : Liste de nombres premiers.

Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers satisfaisant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers[1].

Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills), voire tous les nombres premiers (algorithme FRACTRAN) mais sans intérêt pratique, du fait de calculs trop longs.

Sommaire

Premiers d'une classe de congruence[modifier | modifier le code]

Nombre premier de Pythagore[modifier | modifier le code]

Premier congru à 1 modulo 4.

Entier naturel premier de Gauss[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Gauss.

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers de Gauss, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à 3 modulo 4.

Entier naturel premier d'Eisenstein[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre d'Eisenstein premier.

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers d'Eisenstein, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à –1 modulo 3.

Premiers liés aux puissances de 2[modifier | modifier le code]

Nombre de Fermat premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Fermat.

Premier de la forme Fn := 22n + 1, avec n entier naturel. On n'en connait que cinq : F0, … , F4.

Nombre de Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Mersenne premier.

Premier de la forme Mp = 2p – 1.

Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : M3, M7, M31 et M127) et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : 2, M2, M3, M7 et M127).

Nombre premier de Pierpont[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Pierpont.

Premier de la forme 2u3v + 1.

Nombre de Proth premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Proth.

Premier de la forme k2n + 1 avec 0 < k < 2n.

Nombre de Thebit premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Thebit.

Premier de la forme 3 × 2n – 1.

Nombre premier de Wagstaff[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Wagstaff.

Premier de la forme (2n + 1)/3.

Nombre premier de Wieferich[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Wieferich.

Premier p tel que p2 divise 2p–1 – 1. On n'en connait que deux : 1 093 et 3 511.

Nombre de Woodall premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Woodall.

Premier de la forme n2n – 1.

Nombre de Cullen premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Cullen.

Premier de la forme n2n + 1.

Premiers extraits d'une suite récurrente linéaire[modifier | modifier le code]

Nombre premier de Fibonacci[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Fibonacci.

Nombre de Fibonacci premier.

Nombre premier de Lucas[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Lucas premier.

Nombre à la fois premier et de Lucas.

Nombre de Pell premier[modifier | modifier le code]

Nombre à la fois premier et de Pell.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premier[modifier | modifier le code]

Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.

Nombre de Perrin premier[modifier | modifier le code]

Nombre à la fois premier et de Perrin.

n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants[modifier | modifier le code]

Couples[modifier | modifier le code]

Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme (p, p + k), où l'écart k est un entier strictement positif. Pour chaque k impair, il existe au plus un couple de nombre premiers distants de k : le couple (2, 2 + k), si 2 + k est premier.

Écarts 2, 4 et 6[modifier | modifier le code]

Quelques autres écarts pairs[modifier | modifier le code]

n-uplets suivants[modifier | modifier le code]

Nombre combinatoire premier[modifier | modifier le code]

Nombre de Bell premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Bell.

Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.

Nombre premier factoriel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier factoriel.

Premier de la forme n! ± 1.

Nombre premier primoriel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier primoriel.

Premier de la forme pn# ± 1.

Nombre d'Euclide premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre d'Euclide.

Premier de la forme pn# + 1.

Nombre de Motzkin premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Motzkin.

Premier égal au nombre de façons de dessiner des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.

Bon nombre premier[modifier | modifier le code]

Premier pn tel que

\forall i=1,\ldots,n-1\quad p_n^2>p_{n-i}~p_{n+i},

pk désigne le k-ième nombre premier.

Il y a une infinité de bons nombres premiers (de)[2] : 5, 11, 17, 29etc. (suite A028388 de l'OEIS).

Nombre presque carré premier[modifier | modifier le code]

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme n2k (où, implicitement, n et k sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour k compris entre –5 et 5, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers[3].

L'OEIS contient également des listes pour k de –6 à –11 (A056909, A079138, A138338, A138353, A138355 et A138362) et de 6 à 8 (A028880, A028883 et A028886).

Exemples
  • Le seul nombre premier de la forme n2 – 1 est 3 et le seul nombre premier de la forme n2 – 4 est 5. Cela est dû au fait que 1 et 4 sont des carrés parfaits : n2c2 = (nc)(n + c) est un nombre premier si et seulement si n = c + 1 et 2c + 1 est premier.
  • Pour k ≥ 1, les nombres de Fermat 22k + 1, et même les nombres de Fermat généralisés a2k + 1, sont de la forme n2 + 1.
  • Les nombres de Carol (2k – 1)2 – 2 et les nombres de Kynea (2k + 1)2 – 2 sont de la forme n2 – 2.

Nombre chanceux premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre chanceux.

Nombre premier de Chen[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Chen.

Premier p tel que p + 2 est soit premier, soit semi-premier.

Nombre premier cubain (ou cube)[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier cubain.

Premier de la forme (x3y3)/(x – y)[4] avec y entier strictement positif et x égal à y + 1 ou à y + 2.

Nombre premier équilibré[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier équilibré.

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Nombre fortuné premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre fortuné (en).

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre fortuné (suite A005235 de l'OEIS) est l'entier m défini par : pn# + m est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide pn# + 1. Par exemple :

  • pour n = 3 donc pn# = 2×3×5, le plus petit m > 1 tel que 30 + m soit premier est m = 7 ;
  • pour n = 5 ou 8, m = 23 ;
  • pour n = 6, m = 17.
  • les dix plus petits nombres fortunés premiers (suite A046066 de l'OEIS) sont : 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47 et 59.

On conjecture que tout nombre fortuné est premier[5].

Nombre premier harmonique[modifier | modifier le code]

Pour tout premier p > 3, le numérateur du n-ième nombre harmonique Hn est divisible par p au moins pour les trois valeurs n = p – 1, n = p2p et n = p2 – 1. Le nombre premier p est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (suite A092101 de l'OEIS). On conjecture qu'il y en a une infinité[6],[7].

Nombre premier de Higgs[modifier | modifier le code]

Premier p pour lequel p – 1 divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs (en) inférieurs.

Ces nombres forment la suite A007459 de l'OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, etc.

Nombre premier long[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier long.

Premier p tel que dans une base donnée b non divisible par p, l'entier (bp–1 – 1)/p soit cyclique.

Nombre de Markov premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Markov.

Premier p pour lequel il existe des entiers x et y tels que x2 + y2 + p2 = 3xyp.

Nombre premier de Pillai[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Pillai.

Premier p pour lequel il existe un entier n tel que p divise n! + 1 et n ne divise pas p – 1.

Nombre premier de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Ramanujan.

Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre x/2 et x » est minorée par n.

Nombre premier régulier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier régulier.

Nombre premier p > 2 ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζp). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Nombre premier de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Sophie Germain.

Premier p tel que 2p + 1 soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Nombre premier de Stern[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Stern.

Premier qui n'est pas de la forme p + 2b2 avec p premier et b entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Nombre premier supersingulier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier supersingulier.

Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Nombre premier sûr[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier sûr.

Premier p tel que (p – 1) / 2 soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Nombre premier unique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier unique.

Premier p pour lequel la période du développement décimal de 1/p est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Nombre premier de Wall-Sun-Sun[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Wall-Sun-Sun.

Premier p dont le carré divise divise F(p(p|5)). On ignore s'il en existe.

Paire de Wieferich[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Paire de Wieferich (en).

Une paire de nombres premiers q < p est dite de Wieferich (en) si q p–1 ≡ 1 (mod p2) et doublement de Wieferich[8],[9] si de plus p q–1 ≡ 1 (mod q2). Cette notion est liée à la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu[10].

La plupart des sources, même récentes[11], affirment qu'on ne connait actuellement que six paires doublement de Wieferich : (2, 1 093), (3, 1 006 003), (5, 1 645 333 507), (83, 4 871), (911, 318 917) et (2 903, 18 787), oubliant une septième[12] : (5, 188 748 146 801).

Nombre premier de Wilson[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Wilson.

Premier p tel que p2 divise (p – 1)! + 1.

Nombre premier de Wolstenholme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Wolstenholme.

Premier p pour lequel le coefficient binomial {2p-1\choose p-1} est congru à 1 mod p4.

Premiers extraits d'une constante[modifier | modifier le code]

Nombre premier de Mills[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier de Mills.

Partie entière de θ3n pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante[modifier | modifier le code]

Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e[13], π[14] ou φ[15].

Nombre premier issu de troncature de constante[modifier | modifier le code]

Premier dont les n chiffres sont les n premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte)[16].

Exemples :

Constante Symboles usuels Valeur approchée par défaut à 10–9 près
(suite OEIS des chiffres de l'approximation)
Nombre n de chiffres de p
(suite OEIS de ces nombres)
Nombres premiers p obtenus
(suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéry ζ(3) 1,202 056 903
(A002117)
10, 55, …
(A119334)
1 202 056 903, …
(A119333)
Constante de Catalan K ou β(2) 0,915 965 594
(A006752)
52, …
(A118328)

(A118329)
Constante de Copeland-Erdős 0,235 711 131
(A33308)
1, 2, 4, 11, …
(A227530)
2, 23, 2 357, …
(les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite)
Constante de Néper e 2,718 281 828
(A001113)
1, 3, 7, 85, …
(A064118)
2, 271, 2 718 281, …
(A007512)[13]
Constante d'Euler-Mascheroni γ 0,577 215 664
(A001620)
1, 3, 40, …
(A065815)
5, 577, …
(suite non disponible)
Constante de Glaisher-Kinkelin (en) A 1,282 427 129
(A074962)
7, 10, 18, …
(A118420)
1 282 427, 1 282 427 129, …
(A118419)
Constante de Golomb-Dickman (en) λ, μ 0,624 329 988
(A084945)
6, 27, …
(A174974)
624 329, …
(A174975)
Nombre d'or φ 1,618 033 988
(A001622)
7, 13, …
(A064119)
1 618 033, …
(A064117)[15]
Constante de Khinchin K 2,685 452 001
(A002210)
1, 407, …
(A118327)
2, …
(suite non disponible)
Constante pi π 3,141 592 653
(A000796)
1, 2, 6, 38, …
(A060421)
3, 31, 314 159, …
(A005042)[14]
Constante de Pythagore 2 1,414 213 562
(A002193)
55, …
(A115377)

(A115453)
Constante de Ramanujan-Soldner μ 1,451 369 234
(A070769)
4, 144, …
(A122422)
1 451, …
(A122421)
Constante de Théodorus 3 1,732 050 807
(A002194)
2, 3, 19, …
(A119344)
17, 173, …
(A119343)

Curiosités[modifier | modifier le code]

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.

Nombre premier diédral[modifier | modifier le code]

Premier qui le reste lorsqu'il est observé, normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). Ce nom vient du fait que[réf. nécessaire] le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral D4 (le groupe de Klein). Ces nombres forment la suite A134996 de l'OEIS : 2, 5, 11, 101, 181, etc. Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5 et 8.

Le nombre à 180 055 chiffres 10180 054 + 8R58 5671060 744 + 1 (où Rn est un répunit) est de plus premier palindrome. Lors de sa découverte en 2009 (par Darren Bedwell), il était le plus grand nombre premier diédral connu.[réf. nécessaire]

Nombre premier palindrome[modifier | modifier le code]

Nombres à la fois premiers et palindromes, formant la suite A002385 de l'OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, etc.

Nombre tétradique premier[modifier | modifier le code]

Un nombre est dit tétradique[17] s'il reste inchangé lorsque ses chiffres sont mis tête en bas ou sont inversés par des symétries centrales, c'est-à-dire[pas clair] si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1 et 8.

Ceux qui sont premiers forment la suite A068188 de l'OEIS (11, 101, 181, etc.), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de 180 055 chiffres mentionné ci-dessus.

Nombre premier permutable[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre premier permutable.

Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11.

Reimerp[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Reimerp.

Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » vient du mot « premier » épelé à l'envers).

Nombre premier tronquable (en)[modifier | modifier le code]

Un nombre premier est dit :

  • tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ; il y en a 83 :23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, … et 73 939 133 (suite A024770 de l'OEIS) ;
  • tronquable à gauche s'il ne contient pas le chiffre 0 et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés ; il y en a 4 260 :13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, … et 357 686 312 646 216 567 629 137 (suite A024785 de l'OEIS).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral prime » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Integer Sequence Primes », MathWorld.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Good prime », MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Near-Square Prime », MathWorld.
  4. D'où le nom (rôle joué par les cubes), villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubes.
  5. (en) Fortunate number, sur Prime Pages.
  6. (en) Arulappah Eswarathasan et Eugene Levine, « p-Integral harmonic sums », Discrete Math., vol. 91,‎ , p. 249-257 (DOI 10.1016/0012-365X(90)90234-9).
  7. (en) David W. Boyden, « A p-adic study of the partial sums of the harmonic series », Exper. Math., vol. 3, no 4,‎ , p. 287-302 (lire en ligne).
  8. (en) Eric W. Weisstein, « Double Wieferich Prime Pair », MathWorld.
  9. Suites 124121, 124122 et 126432 de l'OEIS.
  10. (en) Catalan's problem, sur Prime Pages.
  11. (en) Ian Stewart et David Tall, Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, CRC Press,‎ (lire en ligne), p. 270 (4e éd., réactualisée).
  12. (en) Wilfrid Keller et Jörg Richstein, « Solutions of the congruence a p – 1 ≡ 1 (mod pr ) », Math. Comp., vol. 74,‎ , p. 927-936 (lire en ligne).
  13. a et b (en) Eric W. Weisstein, « e-Prime », MathWorld.
  14. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Pi-Prime », MathWorld.
  15. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Phi-Prime », MathWorld.
  16. (en) Eric W. Weisstein, « Constant Primes », MathWorld.
  17. (en) Eric W. Weisstein, « Tetradic Number », MathWorld.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]