Relation Amoroso–Robinson

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La relation Amoroso–Robinson, tenant son nom des économistes Luigi Amoroso et Joan Robinson, décrit la relation entre prix, revenu marginal, et élasticité de la demande

R_m =p.\left( 1-\frac{1}{|\varepsilon _{x,p}|}\right)

Démonstration[modifier | modifier le code]

On note p(x_i) le prix d'un bien et x_i la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total R_t(x_i) = x_i.p(x_i). On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : R_m(x_i) = p(x_i) + x_i.p'(x_i). En factorisant dans le membre de droit, on obtient :

{\displaystyle R_m(x_i) = p(x_i).\bigg(1+\dfrac{x_i.p'(x_i)}{p(x_i)} \bigg)}

En notation leibnizienne, on a : \dfrac{x_i.p'(x_i)}{p(x_i)} = p'(x_i).\dfrac{x_i}{p} = \dfrac{dp}{dx_i}.\dfrac{x_i}{p}

En exprimant x_i en fonction de la demande que l'on note D_i, on obtient : \dfrac{D_i.p'(D_i)}{p(D_i)} = \dfrac{dp}{dD_i}.\dfrac{D_i}{p}

On exprime désormais l'élasticité-prix \varepsilon_{x,p} du prix p(x_i) de la demande D_i : \varepsilon_x,p = \dfrac{dD_i}{dp}.\dfrac{p}{D_i}. On remarque alors que \dfrac{D_i.p'(D_i)}{p(D_i)} = \dfrac{1}{\varepsilon_x,p}

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité \varepsilon_{x,p} < 0, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : \dfrac{D_i.p'(D_i)}{p(D_i)} = -\dfrac{1}{|\varepsilon_x,p|}

Finalement, on a bien : {\displaystyle R_m(x_i) = p(x_i).\bigg(1+\dfrac{x_i.p'(x_i)}{p(x_i)} \bigg) = p(x_i).\left( 1-\frac{1}{|\varepsilon _{x,p}|}\right)}{\displaystyle \Rightarrow R_m = p.\left( 1-\frac{1}{|\varepsilon _{x,p}|}\right)}