Relation d'Amoroso-Robinson

La relation d'Amoroso-Robinson, tenant son nom des économistes Luigi Amoroso et Joan Robinson, décrit la relation entre prix, revenu marginal et élasticité de la demande : $R_{m}=p\cdot \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right),$

où :

• $R_{m}$ est le revenu marginal,
• $x$ est une quantité de bien,
• $p$ est le prix de ce bien,
• $\varepsilon _{x,p}$ est l'élasticité-prix de la demande.

Démonstration

On note $p(x_{i})$ le prix d'un bien et $x_{i}$ la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total $R_{t}(x_{i})=x_{i}.p(x_{i})$. On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : $R_{m}(x_{i})=p(x_{i})+x_{i}.p'(x_{i})$. En factorisant dans le membre de droit, on obtient :

$$R_{m}(x_{i})=p(x_{i})\cdot {\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}\cdot p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}.$$

En notation de Leibniz, on a : ${\dfrac {x_{i}\cdot p'(x_{i})}{p(x_{i})}}=p'(x_{i})\cdot {\dfrac {x_{i}}{p}}={\dfrac {dp}{dx_{i}}}\cdot {\dfrac {x_{i}}{p}}$

En exprimant $x_{i}$ en fonction de la demande que l'on note $D_{i}$, on obtient : ${\dfrac {D_{i}\cdot p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {dp}{dD_{i}}}\cdot {\dfrac {D_{i}}{p}}$.

On exprime désormais l'élasticité-prix $\varepsilon _{x,p}$ du prix $p(x_{i})$ de la demande $D_{i}$ par $\varepsilon _{x},p={\dfrac {dD_{i}}{dp}}\cdot {\dfrac {p}{D_{i}}}$. On remarque alors que ${\dfrac {D_{i}\cdot p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{x},p}}$.

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité est strictement négative : $\varepsilon _{x,p}<0$, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : ${\dfrac {D_{i}\cdot p'(D_{i})}{p(D_{i})}}=-{\dfrac {1}{|\varepsilon _{x},p|}}$.

Finalement, on a bien :

$$R_{m}(x_{i})=p(x_{i})\cdot {\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}\cdot p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}=p(x_{i})\cdot \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)$$

d'où

$$R_{m}=p\cdot \left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right).$$