Rayon spectral

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Si est un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de .

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à .

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), .

De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule .

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, .

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Spectre d'un opérateur linéaire