Racine d'un polynôme

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En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X2X sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple X2 – 2, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans (donc aussi dans ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées[1].

Définitions[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition[modifier | modifier le code]

Définition de racine[1],[2] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que, si l'on substitue à l'indéterminée X la valeur α, on obtient une expression nulle dans A.

Ainsi, le polynôme X2 – 2, à coefficients dans ℚ (donc aussi dans ℝ ou ℂ), ne possède aucune racine dans ℚ mais en possède deux dans ℝ (2 et –2) donc aussi dans ℂ. En effet, si l'on substitue 2 ou –2 à X dans le polynôme, on trouve bien 0.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie « racine », il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du VIIIe siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré[3].

Définition alternative[modifier | modifier le code]

Définition équivalente[1] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que P(X) soit divisible par X – α (dans A[X]).

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

X^2 - 2 = \left(X - \sqrt 2\right)\left(X - \left(- \sqrt 2 \right)\right)

est une autre manière de remarquer que 2 et –2 sont bien les deux racines du polynôme.

L'équivalence des deux définitions, justifiée dans l'article Polynôme formel, est aussi une conséquence du § suivant.

Définitions connexes[modifier | modifier le code]

Le simple fait que le polynôme X – α soit unitaire permet — sans supposer A intègre — de définir les notions suivantes :

Ordre de multiplicité, racine simple, racine multiple[1] — Si P est non nul alors, pour tout élément α de A :

  • le plus grand entier m tel que P(X) soit divisible par (X – α)m est appelé l'ordre, ou la multiplicité, de α relativement à P ;
  • cet entier m est caractérisé par l'existence d'un polynôme Q tel que P(X) = (X – α)mQ(X) et Q(α) ≠ 0 ;
  • on dit que α est racine simple de P si m = 1, et racine multiple si m > 1.

Le polynôme X2 – 2 est séparable, c'est-à-dire qu'il n'a aucune racine multiple. Il est de plus scindé sur ℝ, au sens suivant :

Polynôme scindé — Si P est produit de polynômes du premier degré à coefficients dans un corps commutatif L, on dit que le polynôme P est scindé sur L.

Il est alors possible de factoriser tous les coefficients dominants de ces polynômes du premier degré. Il revient donc au même de dire que dans L[X], P est le produit d'une constante et de polynômes unitaires du premier degré. Une telle décomposition est alors unique : chaque terme constant de l'un de ces polynômes unitaires du premier degré est égal à l'opposé d'une racine de P dans L, et si cette racine est d'ordre m, ce facteur est répété m fois. Le nombre de ces facteurs est donc égal au degré de P.

Existence des racines[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Corps de décomposition.

Soient K un corps commutatif et P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans K.

Une extension de K est un corps contenant K ; ainsi, ℝ et ℂ sont des extensions de ℚ.

Une question naturelle se pose, si L1 et L2 sont deux extensions de K sur lesquelles P est scindé. Les racines, vues comme éléments de L1, sont-elles « équivalentes » aux racines vues comme éléments de L2 ? Cette équivalence existe : il existe dans L1 une « plus petite » sous-extension, appelée corps de décomposition de P, contenant toutes les racines de P, et de même dans L2, et ces deux sous-extensions de K sont identiques. Dans l'exemple K = ℚ, P = X2 – 2, ce corps de décomposition est l'ensemble des nombres de la forme a + b2, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble s'identifie (par un isomorphisme non unique) à un unique sous-corps de ℝ et du corps des nombres algébriques. Ainsi, la paire de racines {2, –2} incluse dans ℝ peut être considérée comme identique à celle incluse dans .

Existence des racines — Il existe une plus petite extension L de K, unique à isomorphisme près, telle que P soit scindé sur L. L'extension L est appelée corps de décomposition de P sur K.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé ; en revanche, un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé sur L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé sur L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé sur L.

Existence d'une clôture algébrique — Il existe une plus petite extension algébriquement close de K, unique à isomorphisme près. L'extension L est appelée clôture algébrique de K.

Le corps ℂ est algébriquement clos, résultat connu sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss. La clôture algébrique de ℝ est ℂ. Celle de ℚ est le sous-corps .

Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine[modifier | modifier le code]

Théorème[4],[5] — Soient A un anneau commutatif, P un polynôme à coefficients dans A et α une racine d'ordre m de P. Alors :

  • α est une racine d'ordre au moins m – 1 du polynôme dérivé P' de P, et même d'ordre exactement m – 1 si m est simplifiable dans A ;
  • α est racine de P, P', P'', …, P(m–1) ;
  • si m! est simplifiable dans A, α n'est pas racine de P(m).

En particulier :

  • une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de P' ;
  • si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), P'(α), P''(α), …, P(r–1)(α) soient nuls et P(r)(α) soit non nul.

Sur un corps de caractéristique p > 0, ce dernier critère n'est pas valide car le polynôme dérivé de Xp est nul.

Relations entre les coefficients et les racines[modifier | modifier le code]

Calcul des racines[modifier | modifier le code]

On peut utiliser la méthode de Muller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpôle le polynôme P par un polynôme de degré deux : a_2 x^2 + b_2 x + c_2 selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points (x_0, x_1, x_2) :

  • a_2 = \frac{P[x_0, x_1] - P[x_1, x_2]}{x_0 - x_2} = P[x_0, x_1, x_2]
  • b_2 = P[x_1, x_2] - a_2\times (x_1  + x_2)
  • c_2 = P(x_2) - a_2\times x_2^2 - b_2\times x_2

avec : f[u, v] = \frac{f(u) - f(v)}{u - v}.

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : a_n (x - x_n)^2 + b_n (x - x_n) + c_n avec x_n qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : x_n peut être un nombre complexe. Coefficients :

  • a_n = P[x_{n-2}, x_{n-1}, x_n]
  • b_n = P[x_{n-1}, x_n] - a_n\times (x_{n-1} - x_n)
  • c_n = P(x_n)

Cette méthode est autoconvergente : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec x_0=-1, x_1=0 et x_2=1 et n=2. Tant que le polynôme ne s'annule pas en x_n, on passe à l'itération n+1 suivante avec :

  • r = \sqrt{b_n^2 - 4 a_n c_n}, où b_n^2 - 4 a_n c_n peut être négatif ou complexe.
    • d = \frac{-2 c_n}{b_n - r} si |b_n+r| < |b_n-r|
    • d = \frac{-2 c_n}{b_n + r} sinon
  • x_{n+1} = x_n + d.

Finalement, le zéro est x_n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), chap. IV, p. A.IV.14.
  2. Gilles Godefroy, L'aventure des nombres, Odile Jacob,‎ (lire en ligne), p. 211.
  3. La première inconnue par l'IREM de Poitiers p. 27.
  4. Bourbaki, p. A.IV.16.
  5. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], Proposition 10.25.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers sur gecif.net