Régression non paramétrique

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La régression non paramétrique est une forme d'analyse de la régression dans lequel le prédicteur, ou fonction d'estimation, ne prend pas de forme prédéterminée, mais est construit selon les informations provenant des données. La régression non paramétrique exige des tailles d'échantillons plus importantes que celles de la régression basée sur des modèles paramétriques parce que les données doivent fournir la structure du modèle ainsi que les estimations du modèle.

Principe général[modifier | modifier le code]

On dispose de données numériques que l'on suppose corrélées. Une des grandeurs est appelée variable « expliquée » et est notée y, les autres sont regroupées dans une variable dite « explicative » x ; dans l'absolu, x et un vecteur,

x = (x1, x2, …, xm).

On dispose de n situations (n jeux de valeurs) formant un nuage de points

(xi, yi) = (xi1, xi2, …, xim, yi)

La régression consiste à trouver une fonction, appelée prédicteur

ƒ : ℝm → ℝ
xy

telle que le résidu

ri = yi - ƒ(xi)

soit le « plus petit possible » ; on estime alors que le prédicteur ƒ « décrit bien » les données. On peut ainsi écrire

yi = ƒ(xi) + ri

ou encore

yi ≃ ƒ(xi).

Dans le cas de la régression paramétrique, on part d'un prédicteur ƒ dont la forme générale est connue. C'est une fonction qui s'exprime par un jeu de paramètre p = (p1, p2, …, pk) avec kn. Le cas le plus simple est celui de la régression linéaire :

ƒp1, p2 = p1x + p2,

et l'on cherche à minimiser le résidu quadratiquei (ri)2.

Dans le cas de la régression non paramétrique, on ne part pas d'une forme de fonction connue. Le cas le plus simple est celui du lissage d'une courbe : à partir du nuage de points initial, on détermine un nouveau nuage de point présentant des variations moins abruptes (dérivable).

Méthodes de régression non-paramétrique[modifier | modifier le code]

Modèle de régression additif[modifier | modifier le code]

Le modèle additif consiste à simplifier la recherche du prédicteur en considérant que c'est la somme de m fonctions d'une seule variable :

y = β0 + ƒ1(x1) + ƒ2(x2) + … + ƒm(xm)

où les fonctions ƒi sont des fonctions « lisses » (dérivables). Chaque fonction ƒi est estimée à partir des données.

Il existe des variations autour de ce concept :

  • modèle semi-paramétrique : certaines fonctions ƒi sont linéaires, ƒi = βixi ;
  • modèle avec interactions : on introduit dans la somme des fonctions de deux variables ƒi, j(xi, xj).

Régression locale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Régression locale.

La régression locale consiste à faire de la régression par parties : on découpe l'espace des variables explicatives en zones, et l'on fait une régression sur chaque zone. La régression au sein d'une zone peut être elle-même paramétrique, la méthode est toutefois tout de même considérée comme non-paramétrique. On fait ainsi fréquemment de la régression locale polynomiale ou de la régression locale par spline.

Le prédicteur n'est pas toujours continu, ni a fortiori dérivable ; il n'est que continu par morceaux (et dérivable par morceaux).

Estimation par noyau[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Estimation par noyau.

La méthode de l'estimation par noyau consiste à considérer un noyau, c'est-à-dire une fonction K symétrique et semi-définie positive (typiquement linéaire, polynomial ou gaussien). Le prédicteur est alors de la forme :

ƒ(x) = ∑k βkK(x - Xk)

où les Xk sont des points donnés de l'espace des variables explicatives. Ainsi, contrairement à la régression locale, chaque fonction K(x - Xk) s'étend sur la totalité de l'espace, mais est centrée sur un point Xk donné. Il n'y a donc pas de problème de continuité.

Estimation par projection[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Estimation par projection.

On suppose pour simplifier que l'on n'a qu'une variable explicative x, et que x et y sont dans [0 ; 1]. On considère une base orthonormée1, φ2, …) de l'espace des applications carré sommables dans [0 ; 1]. On considère une sous-famille finie (φ1, φ2, …, φk).

La projection orthogonale d'une fonction quelconque g sur φi est

\langle g, \varphi_i \rangle = \int_0^1 g(x) \cdot \varphi_i(x) \cdot \mathrm{d}x

dans le cas du prédicteur ƒ, on a l'approximation

\langle g, \varphi_i \rangle  \simeq \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^n y^j \cdot \varphi_i(\mathbf{x}^j) = \beta_i

et le prédicteur est donc défini par :

ƒ = ∑1k βiφi.

On peut par exemple utiliser une base de Fourier ou bien des ondelettes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Emmanuel Flachaire et Ibrahim Ahamada, Économétrie Non Paramétrique, Economica, coll. « Corpus Économie »,‎ , 1e éd., 152 p. (ISBN 978-2717856149)
  • (en) John Fox et Sanford Weisberg, « Nonparametric Regression in R (web appendix) », dans An R Companion to Applied Regression, Sage,‎ , 2e éd. (ISBN 978-1412975148, lire en ligne [PDF])

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]