Règle de d'Alembert

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La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (an) une suite de réels strictement positifs. On note et les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

.
  • Si , alors la série de terme général an converge.
  • Si , alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).

Si , on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • La règle de d'Alembert se démontre directement[1], mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
  • Dans le cas incertain , on peut essayer la règle de Cauchy, plus précise.
  • Lorsque la suite admet une limite , l'énoncé se simplifie car . Dans le cas incertain , on peut essayer la règle de Raabe-Duhamel.
  • La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série an des normes. Si L < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si > 1, elle est grossièrement divergente.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir par exemple « Règle de D'Alembert » dans la leçon sur les séries numériques sur la Wikiversité.