Règle de d'Alembert

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La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (an) une suite de réels strictement positifs. On suppose que la limite suivante existe : .

  • Si < 1, alors la série de terme général an converge.
  • Si > 1, alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).
  • Si = 1, c'est le cas dit « douteux » de la règle de d'Alembert : il est impossible de conclure. On peut alors essayer une règle plus précise : la règle de Raabe-Duhamel.

La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série an des normes. Si < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si > 1, elle est grossièrement divergente.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Si < 1, soit k tel que ℓ < k < 1. Alors, à partir d'un certain rang, an+1/ank donc, par comparaison avec la série géométrique kn qui converge, an converge aussi.

Si > 1, soit k tel que 1 < k < ℓ. Alors, à partir d'un certain rang, an+1/ank, autrement dit : la suite (an/kn) est croissante. Par conséquent, (an) domine la suite géométrique (kn) donc tend, comme elle, vers +∞.

N.B. : la règle de d'Alembert peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.