Règle de d'Alembert

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet dans certains cas d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels ou au contraire sa divergence.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (an) une suite de réels strictement positifs. On suppose que la limite suivante existe : .

(Si = 1, c'est le cas dit « douteux » de la règle de d'Alembert : il est impossible de conclure. On peut alors essayer une règle plus précise : la règle de Raabe-Duhamel.)

Remarques[modifier | modifier le code]

  • La règle de d'Alembert se démontre directement[1], mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
  • Elle peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série an des normes. Si < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si > 1, elle est grossièrement divergente.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir par exemple « Règle de D'Alembert » dans la leçon sur les séries numériques sur la Wikiversité.