Quadrupôle électrostatique

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En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution de charges aux points . Cette distribution à support compact crée à une grande distance des charges (pour , avec longueur caractéristique de la distribution) un potentiel .

On définit :

  • la somme des charges
  • , indépendant de si , nul si est choisi barycentre des charges
  • , le moment d'inertie par rapport à
  • , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à
  • , l'opérateur linéaire quadrupolaire en

On peut vérifier que est de trace nulle : .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante du tenseur quadrupolaire est

, où est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire

Théorème :

, avec

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie

Lorsque possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe , alors la matrice des moments est et .

Si n'est pas nul, on choisit en , et alors :

, avec (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, < 0 ; l'usage est de poser .

Le potentiel terrestre est ainsi .

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en (octupolaire), , etc.).

Articles connexes