Quadrilatère inscriptible

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Quadrilatères inscriptibles

En géométrie, un quadrilatère inscriptible (ou cyclique [1]) est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le quadrilatère est dit inscrit dans le cercle, et le cercle, circonscrit au quadrilatère.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Par les médiatrices[modifier | modifier le code]

Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les quatre médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du cercle circonscrit et les médiatrices des diagonales passent par ce point.

Par les angles[modifier | modifier le code]

,

Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les angles opposés sont supplémentaires[2] (leur somme est π radians, soit 180°). Ou de façon équivalente, si et seulement si chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé. Cette propriété est en fait une variante du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Un quadrilatère croisé est inscriptible si et seulement si ses angles opposés ont même mesure[3].


Existence[modifier | modifier le code]

Théorème de Sturm [4],[5]: s'il existe un quadrilatère de longueurs de côtés successifs , c'est-à-dire si , alors il existe un quadrilatère convexe inscriptible ayant pour longueurs de côtés.

Cela signifie que les sommets de tout quadrilatère articulé peuvent être inscrits dans un cercle.

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire S d'un quadrilatère convexe inscriptible en fonction des longueurs a, b, c et d de ses côtés successifs est donnée par la formule de Brahmagupta :

p = a + b + c + d/2 est le demi-périmètre.

D'après la formule de Bretschneider, un quadrilatère convexe ayant a, b, c d pour suite de longueurs des côtés possède une aire maximale lorsqu'il est inscriptible.

L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible est aussi donnée (voir infra) par :

γ est l'angle entre les côtés de longueurs a et d.

Diagonales[modifier | modifier le code]

Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs e et f des deux diagonales d'un quadrilatère convexe inscriptible est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés ac et bd :

.

Les deux diagonales d'un quadrilatère convexe le coupent en quatre triangles ; lorsque le quadrilatère est inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées chacune de deux triangles semblables.

Pour un quadrilatère convexe inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d = DA, et de diagonales e = AC et f = BD, on a (second théorème de Ptolémée):

Si le point d'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs et , et divise l'autre diagonale en segments de longueurs et , alors . (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des cordes d'un cercle.)

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Tout rectangle est un trapèze isocèle, c'est-à-dire un trapèze circonscriptible. Un cerf-volant est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits (cerf-volant droit).

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

  • Durant le XIVe siècle, le mathématicien Parameshvara Nambudiri (en) détermina le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible. Notons les longueurs des côtés successifs a, b, c, d, le demi-périmètre p et l'aire S ; le rayon R s'obtient par la formule[6] :
.
  • Il n'existe pas de quadrilatère inscriptible dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique[7].
  • Les fonctions trigonométriques de l'angle γ entre les côtés de longueurs a et d sont données par[8] :
 ;
(S étant l'aire) ;
.
  • Théorème de Jules Mathot (1901) : Dans un quadrilatère convexe inscriptible, les quatre droites passant par le milieu d'un côté et perpendiculaires au côté opposé sont concourantes. Le point de concours est le symétrique H du centre O du cercle circonscrit par rapport au centre de gravité des sommets (ou centre géométrique) G [9]p. 131,[10],[11].

Ces quatre droites sont appelées "maltitudes" en anglais (pour "midpoint-altitude"), ce que l'on peut traduire par "hauteurs médianes".

Certains auteurs considèrent la droite (OGH) comme la "droite d'Euler" du quadrilatère inscriptible [1].

Théorème japonais[12] — On considère un quadrilatère ABCD inscriptible. On note IA le centre du cercle inscrit du triangle BCD, et rA son rayon ; on construit de façon similaire IB et rB pour ACD, IC et rC pour ABD, ID et rD pour ABC. Alors :

  • IAIBICID forme un rectangle
  • rA + rC = rB + rD

Propriétés des quadrilatères inscriptibles qui sont également orthodiagonaux[modifier | modifier le code]

Dans un quadrilatère orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), les "hauteurs médianes" définies ci-dessus se coupent deux à deux sur des diagonales. Par exemple, les "hauteurs médianes" issues des milieux de [AD] et [AB] se coupent sur la diagonale issue de A.

Par conséquent, d'après la propriété ci-dessus, dans un quadrilatère à la fois inscriptible et orthodiagonal, les quatre "hauteurs médianes" concourent au point d’intersection H des diagonales, appelé l'anticentre du quadrilatère inscriptible orthodiagonal [1].

On retrouve ainsi le théorème de Brahmagupta, affirmant que dans un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales coupe l'autre côté en son milieu[9]p. 137.

Dans un quadrilatère inscriptible orthodiagonal :

  • la distance du centre O du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé[9]p. 138,
  • supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs e1 et e2 et divise l'autre diagonale en segments de longueurs f1 et f2. Alors[13]

D est le diamètre du cercle circonscrit. Cela est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, soit R = D2 le rayon du cercle circonscrit, la moyenne de e12, e22, f12 et f22 est R2. En outre, les équations a2 + c2 = b2 + d2 = D2 impliquent que la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Le quotient du périmètre d'un cercle par celui d'un carré inscrit est égal à π/22 ≈ 1,110 720 (suite A093954 de l'OEIS).

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cyclic quadrilateral » (voir la liste des auteurs).
  1. a b et c Jean-Louis Ayme, « A propos de l'anticentre d'un quadrilatère » [archive] [PDF]
  2. (en) Proposition 22 du livre III des Éléments d'Euclide.
  3. Jean-Louis Boursin, Les Maths pour les nuls, , p. 79.
  4. Frère Gabriel Marie, Exercices de géométrie, comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues par F. G.-M. (réimpr. Gabay 1991) (lire en ligne), p. 68
  5. Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 367
  6. (en) Larry Hoehn, « Circumradius of a cyclic quadrilateral », The Mathematical Gazette, no 84,‎ , p. 69-70.
  7. (en) R. H. Buchholz et J. A. MacDougall, « Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression », Bull. Austral. Math. Soc., vol. 59, 1999, p. 263-269 [lire en ligne].
  8. (en) A. W. Siddons et R. T. Hughes, Trigonometry, Cambridge Univ. Press, 1929, p. 202.
  9. a b et c (en) Altshiller-Court, College Geometry, Dover Publ., 2007.
  10. David Wells, Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, , p. 134,135
  11. Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 365
  12. (en) Wilfred Reyes, « An Application of Thebault’s Theorem », Forum Geometricorum, vol. 2,‎ , p. 183–185 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)
  13. (en) Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., second edition, 1996, p. 104-105, #4-23.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]