Propriétés métriques des droites et des plans

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En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0(u, v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0(u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

La droite dans le plan euclidien[modifier | modifier le code]

Droite, pente et vecteur directeur[modifier | modifier le code]

Si la droite (D) d'équation ux + vy + h = 0 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées y, donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme

avec

La pente d'une droite est le réel a.

Si l'on appelle α l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D), α peut se déduire par :

Le vecteur est un vecteur directeur de (D), Le vecteur est un autre vecteur directeur.

Vecteur normal à une droite[modifier | modifier le code]

Soit un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

et un point spécifique de (D), on a :

En retranchant (2) à (1) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

La droite d'équation ux + vy + h = 0 est donc orthogonale au vecteur . Le vecteur est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe y, elle peut être donnée par une équation de type :

Le vecteur est un vecteur normal à (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné[modifier | modifier le code]

Soit un point et un vecteur non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par et orthogonale à , si et seulement si :

La droite D, passant par et orthogonale à , a donc pour équation :

Distance algébrique d'un point à une droite[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Soit H le point projeté de sur D, qui est donc tel que est orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

En valeur absolue :

Équation normale d'une droite[modifier | modifier le code]

Dans le repère , notons un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle. On note d'autre part la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

Angles de deux droites[modifier | modifier le code]

Soit D et D' deux droites d'équations

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

Intersection de deux droites[modifier | modifier le code]

Soit les droites (D1) et (D2) d'équations cartésiennes respectives :

alors :

  • si  : les droites sont confondues ;
  • si  : les droites sont strictement parallèles ;
  • si  : les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Faisceau défini par deux droites[modifier | modifier le code]

Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :

En posant  ;

.

On a alors trois cas :

  • si D1 et D2 se coupent en un point unique A, le faisceau est l'ensemble des droites passant par A.
  • si D1 et D2 sont strictement parallèles, le faisceau est l'ensemble des droites strictement parallèles à D1.

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles[modifier | modifier le code]

Les droites d'équations :

,
, et

sont concourantes ou parallèles si :

La droite dans l'espace euclidien[modifier | modifier le code]

Distance d'un point à une droite quelconque de l'espace[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans[modifier | modifier le code]

Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :

Le plan (Q) perpendiculaire à (P1) appartient au faisceau de plans .

(Q) sera perpendiculaire à (P1) pour

Soient H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P1), (Q) et (D), on en déduit .

On calculera MH1 et MHQ comme détaillé plus bas.

Cas où la droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul[modifier | modifier le code]

La distance MH est donnée par

Droites orthogonales à un plan[modifier | modifier le code]

Le plan étant défini par l'équation ux + vy + wz + h = 0, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur . Une droite D passant par le point et perpendiculaire à a pour équations :

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

Distance entre deux droites quelconques de l'espace[modifier | modifier le code]

Soient la droite (D0) passant par et de direction le vecteur et (D1) la droite passant par et de direction

Si les vecteurs et sont indépendants, le volume du solide construit sur est égal à |k|. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

L'aire de la base du solide est donnée par

tel que

La distance entre les deux droites est alors égale à

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite D0.

Le plan dans l'espace euclidien[modifier | modifier le code]

Vecteur orthogonal à un plan[modifier | modifier le code]

Soit un point du plan (P) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

Pour un point spécifique de P on obtient :

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u, v, w), on exprime (1bis) comme suit :

Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0 est donc orthogonal au vecteur et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :

avec a = -u/w, b = -v/w et c = -h/w. Le vecteur de composantes (-a, -b, 1) est un vecteur normal au plan.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné[modifier | modifier le code]

Soit un point et un vecteur non nul. Le point M appartient au plan P, passant par et orthogonal à , si et seulement si :

Le plan P, passant par et orthogonal à , a donc pour équation : :

Distance algébrique d'un point à un plan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Distance d'un point à un plan.

Soit H le projeté de sur (P) avec orthogonal à (P).

La droite perpendiculaire à (P) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et (P) est donnée par :

En valeur absolue :

Angles de deux plans[modifier | modifier le code]

Soient (P) et (P') deux plans d'équations

L'angle géométrique (P, P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux

Articles détaillés : Produit scalaire et Produit vectoriel.

Du point de vue de l'application numérique, la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de π/2 + kπ, et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de 0 + kπ.

Cas particulier : angle de plus grande pente[modifier | modifier le code]

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.

Étant donné l'équation d'un plan horizontal :

L'angle de plus grande pente est donné par :

Plans perpendiculaires[modifier | modifier le code]

Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux et sont orthogonaux, ce qui implique

Intersection de deux plans[modifier | modifier le code]

Soit les plans (P1) et (P2) d'équations cartésiennes respectives :

Alors :

  • si  : les plans sont confondus ;
  • si  : les plans sont strictement parallèles ;

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Faisceau de plans[modifier | modifier le code]

Le faisceau de plans défini par les plans P1 et P2 est l'ensemble des plans solution de l'équation :

En posant  ;

(avec la condition P2 = 0 alors λ correspond à l'infini).
  • si (P1) et (P2) se coupent en une droite (D, le faisceau est l'ensemble des plans passant par (D).
  • si (P1) et (P2) sont strictement parallèles, le faisceau est l'ensemble des plans strictement parallèles à (P1).

Condition pour que trois plans aient une droite commune ou soient parallèles[modifier | modifier le code]

Soit les plans d'équation :

S'il existe α, β, γ non tous nuls tels que :

pour tous x, y et z

Cette relation exprime que (P1) et (P2) sont les plans de base du faisceau contenant (P3).

Équation de plan et déterminant[modifier | modifier le code]

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires[modifier | modifier le code]

Soient un point et deux vecteurs et non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan (P) passant par et de directions et si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que . Cette égalité exprime que sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

Son équation est :

que l'on peut écrire sous la forme

Plan défini par deux points et un vecteur[modifier | modifier le code]

Soient deux points et un vecteur non colinéaire à .

Le point M appartient au plan passant par et de direction si et seulement si les trois vecteurs : sont coplanaires, donc :

Son équation est :

Plan défini par trois points non alignés[modifier | modifier le code]

Soient , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :


Articles connexes[modifier | modifier le code]