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Processus polytropique

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En thermodynamique, un processus polytropique est une transformation réversible impliquant un transfert thermique (échange de chaleur) partiel entre le système étudié et son extérieur.

La loi polytropique peut représenter diverses conditions de transformation. La loi de Laplace en est le cas particulier applicable aux transformations isentropiquesentropie constante, c'est-à-dire adiabatiques, à échange de chaleur nul). Elle couvre également les transformations isobares (à pression constante), isothermes (à température constante) et isochores (à volume constant) ; elle revient alors aux diverses lois qui composent la loi des gaz parfaits.

La loi polytropique n'est en théorie applicable qu'aux gaz parfaits, sous l'hypothèse que leurs capacités thermiques sont constantes et en l'absence de réaction chimique. Elle offre cependant un modèle idéal de référence pour l'étude de procédés réels. Elle est utilisée dans l'étude des explosions. Elle sert dans l'établissement du rendement des compresseurs et des turbines. En astrophysique, un polytrope est une forme de matière dont l'équation d'état s'écrit sous la forme d'une loi polytropique.

La loi polytropique

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Au cours d'une transformation quelconque réversible d'un gaz parfait, on a la relation suivante[1],[2] :

Transformation polytropique :

que l'on peut aussi exprimer sous les formes[1],[2] :

avec :

  • l'indice (ou coefficient, ou exposant) polytropique[3] (en astrophysique, l'indice polytropique est le nombre tel que [4]) ;
  • la pression ;
  • le volume ;
  • la température.

La constante de la loi polytropique (différente d'une forme à l'autre) ne dépend que des conditions initiales de pression, température et volume de la transformation. Cette constante est positive quelle que soit la forme de la loi.

Les lois polytropiques ne sont valables que :

L'indice polytropique

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Transformations polytropiques dans un diagramme de Clapeyron.
Le point fixe a pour coordonnées = 1 et = 5.

L'indice polytropique correspond aux transformations réversibles suivantes[1],[5],[6],[7],[8] :

  • , le volume et la pression augmentent simultanément (explosion) ;
  • , processus isobare (à pression constante) ;
  • , processus isotherme (à température constante) ;
  • , compression avec refroidissement ou détente avec réchauffement ;
  • , processus isentropiqueentropie du système constante) ou adiabatiquetransfert thermique nul)[9] ;
  • , compression avec réchauffement ou détente avec refroidissement ;
  • , processus isochore (à volume constant).

est l'indice adiabatique, ou coefficient de Laplace, rapport des capacité thermique isobare et capacité thermique isochore .

L'indice polytropique s'écrit de façon générale selon :

avec :

  • la variable laissée constante dans la transformation polytropique ;
  • le coefficient de compressibilité isotherme ;
  • le coefficient de compressibilité polytropique.

Dans un diagramme de Clapeyron, le coefficient polytropique en un point donné peut donc se calculer selon[1],[10] :

et en particulier, pour , l'entropie :

Démonstration

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Démonstration de la loi

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Hypothèses

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Par hypothèse, la transformation est effectuée :

Cas général

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Par définition des coefficients calorimétriques, on a les relations générales sur la chaleur échangée lors d'une transformation quelconque réversible[11] :

Transformation quelconque - relation générale

avec :

Les relations de Maxwell donnent les première et deuxième relations de Clapeyron :

De façon plus générale, pour toute variable , l'échange de chaleur avec l'extérieur, à quantité de matière constante, peut s'écrire selon :

avec la capacité thermique polytropique[1],[12] :

Capacité thermique polytropique

Dans le cas d'une transformation polytropique, à constante, la variation de chaleur vaut[13] :

Par soustraction de cette expression aux précédentes expressions de , on obtient :

Transformation polytropique - relation générale

La variation de température vaut :

d'où :

L'indice polytropique est défini par[12],[6],[14] :

Indice polytropique
(a)

On réécrit :

Par ailleurs, on définit le coefficient de compressibilité isotherme :

Coefficient de compressibilité isotherme

La relation :

permet de réécrire :

Finalement, puisque la transformation est effectuée à constante, on obtient[12] :

On définit le coefficient de compressibilité polytropique :

Coefficient de compressibilité polytropique
(b)

ce qui donne :

(c)

Cette relation est une généralisation de la relation de Reech (avec l'entropie, on a et ).

Cas des gaz parfaits

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L'équation des gaz parfaits, , induit :

On obtient donc, pour les gaz parfaits uniquement :

Transformation quelconque - gaz parfaits
(d)

et pour une transformation polytropique :

Transformation polytropique - gaz parfaits

d'où finalement :

On considère que lors de la transformation est constant (en toute rigueur, pour un gaz parfait, il dépend de la température). On intègre entre un état initial et un état final , on obtient :

et donc la loi polytropique :

Loi polytropique :

Avec, selon l'équation d'état des gaz parfaits :

par substitutions, on obtient également :

Les processus

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Coefficient polytropique négatif

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Le cas concerne des phénomènes dans lesquels une augmentation de pression coïncide avec une augmentation de volume. On a :

Le deuxième principe de la thermodynamique induit qu'un coefficient de compressibilité , quelle que soit , ne peut être que positif pour un corps stable : le volume ne peut que diminuer sous une augmentation de pression. La relation (c) induit que ne peut pas être négatif pour un corps stable. Le cas représente donc un état instable de la matière[15]. Ce cas implique d'autres phénomènes que la seule force de pression, par exemple une réaction exothermique qui génère de la chaleur au cours de la transformation.

Si , la définition (a) donne (la relation de Mayer implique que ).

Ce cas est employé dans l'étude des réactions explosives, par exemple dans l'étude des moteurs à explosion[16],[17],[15] ou en astrophysique dans la modélisation du comportement explosif des plasmas[18].

Processus isobare

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Si , la pression, le processus est isobare.

La définition (b) donne . On a donc par la relation (c)[6],[14] :

Processus isobare :

On vérifie par la définition (a) que , la capacité thermique isobare[6],[14].

La loi polytropique donne la loi de Charles[5] :

Loi de Charles : à pression constante.

La loi des gaz parfaits donne .

Processus isotherme

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Si , la température, le processus est isotherme.

La définition (b) donne , le coefficient de compressibilité isotherme. On a donc par la relation (c)[6],[14] :

Processus isotherme :

On a par la définition (a)[6],[14] : .

La loi polytropique donne la loi de Boyle-Mariotte[5] :

Loi de Boyle-Mariotte : à température constante.

La loi des gaz parfaits donne .

Processus isentropique

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Si , l'entropie, le processus est isentropique (adiabatique réversible[9]).

La définition (b) donne , le coefficient de compressibilité isentropique. La relation de Reech donne, de façon générale :

avec l'indice adiabatique. On a donc par la relation (c)[6],[14] :

Processus isentropique (adiabatique) :

On a par la définition (a)[6],[14] : .

La loi polytropique donne la loi de Laplace[5] :

Loi de Laplace : à entropie constante.

Processus isochore

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Si , le volume, le processus est isochore.

La définition (b) donne . On a donc par la relation (c)[6],[14] :

Processus isochore :

On vérifie par la définition (a) que , la capacité thermique isochore[6],[14].

La loi polytropique donne la loi de Gay-Lussac[5] :

Loi de Gay-Lussac : à volume constant.

La loi des gaz parfaits donne .

Compression et détente

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Les formules du travail et de la chaleur établies dans la section Bilan énergétique montrent que, quel que soit , on a, pour un gaz parfait[19] :

avec :

  • le travail des forces de pression ;
  • la chaleur échangée.

L'indice adiabatique est nécessairement supérieur à 1 (voir l'article Relation de Mayer).

Lors d'une compression, soit  :

  • si , alors , le système perd de la chaleur ;
  • si , alors , le système gagne de la chaleur.

Lors d'une détente, soit  :

  • si , alors , le système gagne de la chaleur ;
  • si , alors , le système perd de la chaleur.

Bilan énergétique

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Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

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Capacités thermiques

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La définition de la capacité thermique polytropique et la définition (a) de l'indice donnent de façon générale[1],[20] :

Puisque la capacité thermique est positive et que la relation de Mayer induit que , alors si . Autrement, . En particulier[6],[14] :

  • si , le processus est isobare, , la capacité thermique isobare ;
  • si , le processus est isotherme,  ;
  • si , le processus est isentropique,  ;
  • si , le processus est isochore, , la capacité thermique isochore.

L'indice adiabatique est défini par :

La relation de Mayer donne, pour les gaz parfaits :

avec :

De ces relations on tire, pour les gaz parfaits :

Autres coefficients

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Un gaz parfait répond aux relations :

ou

La variation de la pression en fonction du volume vaut :

Le coefficient de compressibilité polytropique vaut :

La variation de la température en fonction du volume vaut :

La variation de l'entropie en fonction du volume vaut :

Le tableau suivant donne l'évolution des dérivées précédentes en fonction de l'indice polytropique[17].

Processus polytropiques.
Indice polytropique Explosion Explosion modérée Sous-adiabatique Sur-adiabatique

isochore

isentropique

isochore

isotherme

isobare

Entropie et énergie

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Soit la transformation d'une quantité d'un gaz parfait entre un état initial et un état final . La loi des gaz parfaits donne :

et la loi polytropique :

On introduit la capacité thermique polytropique dans la variation de chaleur d'un gaz parfait :

La loi des gaz parfaits donne, à quantité de matière constante :

d'où :

La variation de chaleur s'écrit finalement :

Entropie

Donc si et seulement si est constant, d'où la loi polytropique. De plus, puisque par définition :

on a :

Ainsi, est une fonction de la seule variable , et est constante si et seulement si est constant.

En particulier, si , alors , d'où :

On en déduit que , d'où et finalement :

On retrouve la loi de Laplace : est constante si et seulement si est constant.

Le travail produit par les forces de pression vaut :

Si la transformation est isotherme, la température est constante, . L'équation des gaz parfaits donne et :

d'où[21] :

Travail isotherme

Quel que soit , la loi polytropique donne et par conséquent :

d'où[22],[21] :

Travail polytropique

Si la transformation est isobare, la pression est constante, , d'où[21] :

Travail isobare

Si la transformation est isentropique (adiabatique réversible[9]), le système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, d'où[21] :

Travail isentropique

Si la transformation est isochore, le volume est constant, , d'où[21] :

Travail isochore

Si la transformation est isotherme, la température est constante, . L'équation des gaz parfaits donne . La chaleur produite par la transformation vaut, selon la relation (d), puisque  :

d'où[21] :

Chaleur isotherme

Quel que soit , les expressions de la variation de chaleur (d) donnent, en supposant constante :

d'où[21] :

Chaleur polytropique

Si la transformation est isobare, la pression est constante, , d'où[21] :

Chaleur isobare

Si la transformation est isentropique (adiabatique réversible[9]), le système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur, d'où[21] :

Chaleur isentropique

Si la transformation est isochore, le volume est constant, , d'où[21] :

Chaleur isochore

Énergie interne et enthalpie

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Le gaz étudié étant un gaz parfait, il répond à la première loi de Joule : son énergie interne ne dépend que de la température. L'énergie interne varie selon :

d'où, en supposant constante[23],[21] :

Énergie interne

La variation d'énergie interne ne dépend pas de . Quel que soit , on vérifie également le premier principe de la thermodynamique :

De même, le gaz étudié étant un gaz parfait, il répond à la deuxième loi de Joule : son enthalpie ne dépend que de la température. L'enthalpie varie selon :

d'où, en supposant constante[21] :

Enthalpie

La variation d'enthalpie ne dépend pas de . Quel que soit , l'enthalpie varie également selon[24] :

avec le travail de transvasement[25]. On pose[1],[20] :

Quel que soit , une transformation polytropique sur un gaz parfait donne les relations[1],[19],[20],[26] :

ou
ou

Le tableau suivant résume les différentes grandeurs des transformations polytropiques[1],[21].

Bilan énergétique.
Indice polytropique
(processus polytropique)

(processus isobare)

(processus isotherme)

(processus isentropique)

(processus isochore)

travail





chaleur





énergie interne



travail de transvasement




enthalpie


Applications

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Étude des compresseurs et des turbines

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Les machines

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Un compresseur est une machine permettant d'augmenter la pression d'un gaz en lui apportant du travail. Une turbine au contraire produit du travail en détendant un gaz. Soient les conditions réelles de fonctionnement, mesurées aux bornes de la machine :

  • à l'admission (entrée) ;
  • au refoulement (sortie).

Pour un compresseur et . Pour une turbine et . On note le taux de compression, ou de détente[27] :

Taux de compression ou de détente

Ce taux est supérieur à 1 pour un compresseur et inférieur à 1 pour une turbine.

Soit la puissance (en watts, W) que la machine consomme (pour un compresseur) ou délivre (pour une turbine) en opérant un débit massique de gaz (en kilogrammes par seconde, kg/s). Le travail technique massique (en joules par kilogramme, J/kg) est le travail consommé ou produit par l'opération d'un kilogramme de gaz[28] :

Travail technique

Ce travail est positif pour un compresseur (un compresseur reçoit du travail), négatif pour une turbine (une turbine produit du travail).

Dans tout type de machine réelle, de la chaleur « irréversible » est produite par les frottements mécaniques et la viscosité du gaz. La machine échange également de la chaleur avec l'extérieur. Une machine « adiabatique » est une machine sans échange de chaleur avec l'extérieur[29] : la chaleur irréversible est exclusivement évacuée par le gaz sortant, le processus est dit « adiabatique irréversible[30],[31] ». Le refroidissement d'un compresseur permet de diminuer le travail à lui fournir. Le réchauffement d'une turbine permet d'augmenter le travail récupérable[8]. Il est cependant économiquement et techniquement plus facile de refroidir un compresseur que de réchauffer une turbine[32]. L'échange de chaleur peut s'effectuer de façon continue pendant l'opération de changement de pression, par exemple via les parois internes de la machine en contact avec le gaz parcourues par un fluide frigoporteur ou caloporteur. Dans certains compresseurs, une fraction de liquide (huile ou gaz liquéfié) est injectée dans le flux entrant. Le réchauffement, voire l'évaporation, de ce liquide dans la machine absorbe une partie de la chaleur dégagée par le processus de compression.

On associe à la transformation réelle (irréversible sur un gaz réel) une transformation polytropique (réversible sur un gaz parfait) ayant les mêmes conditions d'admission et de refoulement que la machine réelle. La loi polytropique donne , d'où :

On peut ainsi calculer l'indice polytropique[33],[26] :

Indice polytropique

Pour tout type de machine, une transformation isotherme () donne .

Pour un compresseur[8] :

  • est une compression refroidie ;
  • est une compression isentropique (adiabatique réversible[9]). La machine n'échange pas de chaleur avec l'extérieur (machine adiabatique) et le refroidissement compense exactement la chaleur irréversible ;
  • est une compression réchauffée. La chaleur provient de l'irréversibilité du processus. Ce cas apparait dans les machines sans refroidissement ou insuffisamment refroidies. Le réchauffement volontaire d'un compresseur est sans intérêt car il augmente le travail à fournir.

Pour une turbine[8] :

  • est une détente réchauffée. La chaleur provient de l'irréversibilité du processus et d'un éventuel réchauffement additionnel ;
  • est une détente isentropique (adiabatique réversible[9]). Ce cas est sans intérêt car il faudrait refroidir la machine pour compenser la chaleur irréversible, ce qui diminue le travail récupérable ;
  • est une détente refroidie. Ce cas est sans intérêt.

Travail de transvasement

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Travail de transvasement d'un compresseur. Pour une turbine, le travail de transvasement est négatif.

Soit une masse de gaz entrant dans la machine, subissant un changement de pression, puis sortant de la machine. Le gaz qui entre et qui sort de la machine subit les forces dues aux pressions d'admission et de refoulement. Le travail de transvasement est le travail que le gaz échange réellement avec la machine durant un cycle complet décrit par les diagrammes ci-contre, soit . L'expression générale du travail de transvasement est[25] :

Travail de transvasement

avec le point d'admission et le point de refoulement . Pour un gaz parfait, la loi des gaz parfaits donne :

avec la quantité de gaz correspondant à la masse et la constante universelle des gaz parfaits. Soit le travail élémentaire massique :

avec la masse molaire du gaz et la constante spécifique du gaz[34],[35].

Pour une transformation isotherme (), telle que , le travail de transvasement vaut[36] :

Travail de transvasement isotherme

Pour une transformation non isotherme (), la loi polytropique donne :

Pour les transformations non isothermes, le travail de transvasement se calcule donc selon[37],[20],[36],[26] :

Travail de transvasement polytropique

Quelle que soit la valeur de , dans une transformation polytropique le travail de transvasement est lié au travail calculé dans la section Travail par la relation . Puisque pour un compresseur comme pour une turbine, le travail de transvasement est toujours, en valeur absolue, supérieur au travail de compression ou de détente proprement dit.

Soit la température que l'on obtiendrait par un processus isentropique (donc adiabatique réversible[9]), avec l'indice adiabatique :

Température isentropique

Le travail produit par un transvasement isentropique est[38] :

Travail de transvasement isentropique

Dans une machine adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur, calorifugée ou frigorifugée), la chaleur créée par l'irréversibilité du processus est intégralement transférée au gaz : la transformation est adiabatique irréversible. Le travail vaut[30] :

Travail de transvasement adiabatique irréversible

Une transformation polytropique étant réversible par définition, la transformation adiabatique irréversible n'est pas polytropique. Cependant, son point initial et son point final étant respectivement les points d'entrée et de sortie de la machine, elle permet un calcul approché correct du travail de la plupart des machines adiabatiques réelles.

Optimisation des machines

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L'étude de ces différents travaux montre que, pour un taux (supérieur à 1 pour un compresseur et inférieur à 1 pour une turbine) et une température constants[8] :

pour un compresseur :
pour une turbine :

Pour un compresseur, le travail diminue avec la température de sortie (supérieure à la température d'entrée), c'est-à-dire lorsque diminue. Le refroidissement d'un compresseur permet donc de diminuer le travail à fournir. Pour une turbine, la valeur absolue du travail augmente avec la température de sortie (inférieure à la température d'entrée), c'est-à-dire lorsque diminue. Le réchauffement d'une turbine permet donc d'augmenter le travail récupéré. Pour un compresseur comme pour une turbine, le processus optimal est isotherme ()[8] : un compresseur consomme un minimum de travail, une turbine en produit un maximum.

Dans une machine idéale la transformation est réversible, tout le travail est utilisable. Dans une machine réelle la transformation est irréversible, car une partie du travail est dégradée en chaleur. Un compresseur réel consomme plus de travail qu'un compresseur idéal. Une turbine réelle produit moins de travail qu'une turbine idéale. Par définition, une transformation polytropique est réversible. On peut donc comparer la transformation réelle à une transformation polytropique produisant les mêmes conditions de refoulement à partir des mêmes conditions d'admission. Quelle que soit la valeur de , on définit le rendement polytropique[39] :

Rendement polytropique
pour un compresseur :  ; pour une turbine :

Pour un compresseur refroidi ou une turbine réchauffée ( dans les deux cas), le travail réel est également comparé au travail isotherme[39] :

Rendement isotherme
pour un compresseur :  ; pour une turbine :

Dans une machine adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur)[29], la chaleur créée par le processus est entièrement transférée au gaz, et la température réelle de sortie est nécessairement supérieure à la température isentropique. L'indice polytropique vaut pour un compresseur et pour une turbine. Le rendement isentropique (ou adiabatique) est défini par le rapport entre le travail isentropique et le travail adiabatique irréversible[30],[33],[40] :

Rendement isentropique
pour un compresseur :  ; pour une turbine :

Dans le cas d'un compresseur à refroidissement continu () on obtient , ce rendement n'est pas pertinent[39].

En astrophysique

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En astrophysique, la loi polytropique est considérée comme étant l'équation d'état du système étudié, alors appelé polytrope[41]. Elle est écrite sous la forme[4] :

Équation d'état d'un polytrope :

avec :

  • une constante ;
  • la pression ;
  • l'exposant polytropique ;
  • la masse volumique.

Avec la masse du système étudié, on a et , qui est la forme communément employée en thermodynamique. On note . Dans ce contexte, est également appelé indice polytropique. Selon sa valeur, cet indice permet de décrire[4] :

  • le gaz constituant les étoiles ordinaires () ;
  • le gaz d'électrons dégénéré dans les naines blanches ( dans le cas non-relativiste et dans le cas ultrarelativiste) ;
  • les sphères isothermes () ;
  • la matière nucléaire dans les étoiles à neutrons ().

La particularité de cette équation d'état est qu'elle ne dépend que de deux paramètres (la pression et la masse volumique), quand la plupart des équations d'état (par exemple la loi des gaz parfaits, les équations d'état cubiques) dépendent généralement de la pression, du volume molaire et de la température. La structure des objets constitués par cette matière polytrope est décrite par l'équation de Lane-Emden[42].

Notes et références

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  1. a b c d e f g h et i Gautron et al. 2021, p. 190-191.
  2. a et b Kumar 2022, p. 20.
  3. Dans la littérature anglo-saxonne, l'indice polytropique est souvent noté ou et l'indice adiabatique .
  4. a b et c Taillet et al. 2018, p. 584.
  5. a b c d et e Kumar 2022, p. 22-25.
  6. a b c d e f g h i j et k Foussard et al. 2019, p. 62-64.
  7. Marc Budinger, Ion Hazyuk et Clément Coïc, Modélisation multiphysique des systèmes technologiques, ISTE Group, , 388 p. (ISBN 9781784056308, lire en ligne), p. 346.
  8. a b c d e et f Lallemand 2021, p. 11.
  9. a b c d e f et g Un processus polytropique étant réversible () par définition, il y a équivalence entre les termes isentropique () et adiabatique (). Ces deux termes ne sont pas équivalents pour un processus irréversible ().
  10. Mauduit 2013, p. 69.
  11. Gautron et al. 2021, p. 180.
  12. a b et c Moñino et al. 2018, p. 31-32.
  13. Foussard et al. 2021, p. 67.
  14. a b c d e f g h i et j Foussard et al. 2021, p. 68.
  15. a et b (en) Otis E. Lancaster, Jet Propulsion Engines, vol. 2247, Princeton University Press, coll. « Princeton Legacy Library », , 842 p. (ISBN 9781400877911, lire en ligne), p. 390-391.
  16. (en) N. M. Smolenskaya, V. V. Smolenskii et I. Bobrovskij, « Research Of Polytropic Exponent Changing For Influence Evaluation Of Actual Mixture Composition On Hydrocarbons Concentration Decreasing On Deep Throttling Operation », IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science, vol. 50,‎ (DOI 10.1088/1755-1315/50/1/012016, lire en ligne [PDF]).
  17. a et b (en) George Livadiotis, Kappa Distributions : Theory and Applications in Plasmas, Elsevier, , 738 p. (ISBN 9780128046395, lire en ligne), p. 252.
  18. (en) Georgios Nicolaou, George Livadiotis et Robert T. Wicks, « On the Calculation of the Effective Polytropic Index in Space Plasmas », Entropy, vol. 21, no 10,‎ , p. 997 (DOI 10.3390/e21100997).
  19. a et b Kumar 2022, p. 225.
  20. a b c et d Mauduit 2013, p. 68.
  21. a b c d e f g h i j k l et m Mauduit 2013, p. 70.
  22. Kumar 2022, p. 146-147.
  23. Kumar 2022, p. 147.
  24. Renvoizé 2010, p. 683.
  25. a et b Renvoizé 2010, p. 682.
  26. a b et c Renvoizé 2010, p. 687.
  27. Lallemand 2021, p. 8.
  28. Lallemand 2021, p. 15.
  29. a et b Mérigoux 1999, p. 7.
  30. a b et c Lallemand 2021, p. 12.
  31. Renvoizé 2010, p. 685.
  32. Lallemand 2021, p. 20.
  33. a et b Lallemand 2021, p. 14.
  34. Lallemand 2021, p. 5.
  35. Renvoizé 2010, p. 679.
  36. a et b Lallemand 2021, p. 9.
  37. Kumar 2022, p. 243.
  38. Lallemand 2021, p. 8-9.
  39. a b et c Lallemand 2021, p. 13.
  40. Renvoizé 2010, p. 688.
  41. Horedt 2005.
  42. Taillet et al. 2018, p. 420-421.

Bibliographie

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  • Jean-Noël Foussard et Stéphane Mathé, Thermodynamique : L'essentiel du cours, exercices corrigés, Dunod, coll. « Mini manuel », , 2e éd., 240 p. (ISBN 9782100792771, lire en ligne), p. 62-64.
  • Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé et Hubert Debellefontain, Les bases de la thermodynamique : Cours et exercices corrigés, Dunod, , 3e éd., 260 p. (ISBN 9782100834990, lire en ligne).
  • Laurent Gautron, Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon et Eric Wenner, Physique : Tout le cours en fiches. Licence, CAPES, Prépas, Dunod, , 2e éd., 592 p. (ISBN 978-2-10-072891-6, lire en ligne), p. 190-191.
  • (en) Georg P. Horedt, Polytropes : Applications in Astrophysics and Related Fields, vol. 306, Springer Science & Business Media, coll. « Astrophysics and Space Science Library », , 724 p. (ISBN 9781402023514, lire en ligne).
  • (en) Shiv Kumar, Thermal Engineering, vol. 1, Springer Nature, , 579 p. (ISBN 9783030672744, lire en ligne).
    Dans cette référence le travail est calculé selon la convention anglo-saxonne ou, pour le travail de transvasement, . Il faut donc prendre systématiquement l'opposé des expressions calculées pour la convention européenne et .
  • André Lallemand, Compression et détente des gaz ou des vapeurs, vol. BE 8 013, Éditions Techniques de l'Ingénieur, , 26 p. (lire en ligne).
  • Richard Mauduit, Thermodynamique en 20 fiches, Dunod, , 160 p. (ISBN 9782100590773, lire en ligne), p. 68-70.
  • Jean-Marie Mérigoux, Ventilateurs. Compresseurs : Notions fondamentales. Dimensionnement, vol. BM 4 500, Éditions Techniques de l'Ingénieur, , 37 p. (lire en ligne).
  • (en) Antonio Moñino, Encarnación Medina-López, Rafael J. Bergillos, María Clavero, Alistair Borthwick et Miguel Ortega-Sánchez, Thermodynamics and Morphodynamics in Wave Energy, Springer, , 104 p. (ISBN 9783319907017, lire en ligne), p. 31-33.
  • Vincent Renvoizé, Physique MP-MP*-PT-PT* : cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés, Pearson Education France, , 879 p. (ISBN 9782744074400, lire en ligne).
  • Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, , 956 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne).

Articles connexes

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