Problème de l'obstacle

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Le problème de l'obstacle est un problème classique de mécanique. Pour visualiser ce problème, il faut imaginer une membrane recouvrant un objet appelé alors obstacle (tel un film cellophane recouvrant un rôti). En effet, ce problème consiste à trouver une courbe solution qui a une position très précise par rapport à l'obstacle et qui en plus vérifie une propriété de minimisation de longueur.

Pour mieux appréhender le problème, considérons-le en dimension 1. La membrane est alors un élastique recouvrant un objet. Cet élastique qui se trouve toujours au-dessus de l'objet tend à minimiser sa longueur. De plus, pour de petites variations, minimiser sa longueur revient à minimiser son énergie, en effet paramétrant l'élastique sur l'intervalle par

pour .

la longueur de l'élastique entre et est :

.

Nous voudrions minimiser cette longueur, c'est-à-dire trouver

.

Or, si est suffisamment petit, nous avons .

Minimiser la longueur de l'élastique revient donc à trouver

,

ce qui revient à minimiser

[réf. nécessaire].

Approche théorique[modifier | modifier le code]

Existence et unicité[modifier | modifier le code]

Le problème de l'obstacle peut être vu comme une application du théorème de Stampacchia, en considérant la proposition suivante:

Proposition —  L'espace de Hilbert le convexe fermé non vide

et aux bords, la forme bilinéaire, continue, coercive et symétrique

[réf. nécessaire]

et la forme linéaire continue

[réf. nécessaire]

vérifient les hypothèses du théorème de Stampacchia.

(Les démonstrations se font aisément en utilisant les inégalités de Hölder et de Poincaré.)

Le théorème de Stampacchia s'applique donc, et ainsi il existe un unique

tel que :

[réf. nécessaire]

Ce qui est équivalent à dire qu'il existe un unique tel que :

De plus, étant symétrique, alors est caractérisé par la propriété :

Propriétés de la solution[modifier | modifier le code]

Démontrons à présent quelques propriétés vérifiées par la solution , en utilisant la dérivée seconde de . Cependant , est alors une dérivée faible et se pose alors le problème de définir la dérivée seconde. C'est pourquoi il faut utiliser une théorie plus générale : la théorie des distributions.

Proposition —  Avec les notations du théorème de Stampacchia,

  • au sens des distributions sur
  • au sens des distributions sur .

Recherche intuitive de la solution[modifier | modifier le code]

Etablissons un raisonnement afin de trouver une solution explicite au problème de l'obstacle où et . L'obstacle est donc une parabole symétrique.

Forme de la solution près des bords[modifier | modifier le code]

Proposition — Sur est une droite.

Fig. 1: Le saut de la dérivée en est "positif"

Proposition —  Soit est une droite telle que et coupe au point d'abscisse , à partir de ce point (voir figure). Ainsi tels que soient très proches de . Alors au sens des distributions sur .

Comparaison d'énergies[modifier | modifier le code]

Proposition —  Soit la tangente à au point d'abscisse telle que . Soit la tangente à au point d'abscisse telle que . Définissons deux fonctions dans  :

  • L'énergie de , est inférieure à celle de , .
  • En considérant telle qu'elle a été définie précédemment et un triangle centré (voir figure 2), l'énergie de est supérieure à celle de .
  • L'énergie d'un triangle décentré est supérieure à celle d'un triangle centré (voir figure 2).
  • Soit la solution tordue (voir figure 2). Alors l'énergie de est supérieure à celle de .

Conclusion[modifier | modifier le code]

Fig. 3: Solution dans le cas d'un obstacle concave

La solution semble donc être (voir Fig. 3)

,

et on vérifie facilement que c'est le cas car cette solution vérifie le théorème de Stampacchia qui garantit son unicité :

Extensions du problème[modifier | modifier le code]

Obstacle non concave[modifier | modifier le code]

Fig. 4: Solution du problème avec obstacle non-concave

Considérons maintenant un autre obstacle, à savoir : sur . Le raisonnemement établi lors de l'étude de l'obstacle précédent nous laisse penser que la solution éventuelle serait de la forme (voir Fig. 4):

et sont tels que :

  • est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en ,
  • atteint son maximum sur au point ;
  • Par symétrie, comme est une fonction paire, et . Ainsi, atteint son maximum sur au point et est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en .

Cette solution vérifie bien le théorème de Stampacchia car

et est donc l'unique solution.

Double obstacle[modifier | modifier le code]

En considérant maintenant le convexe fermé

,

on peut alors étudier le problème à deux obstacles. Considérons les obstacles et sur .

Le raisonnemement établi précédemment laisse penser que la solution éventuelle serait de la forme (voir Fig. 5):

Fig. 5: Solution du problème à deux obstacles

et sont tels que

  • est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en ,
  • est la tangente commune aux deux obstacles. Elle est la tangente de au point d'abscisse et est la tangente de au point d'abscisse .
  • Par symétrie, comme et sont deux fonctions paires, , et . Ainsi, est la tangente de au point d'abscisse et est la tangente de au point d'abscisse et

est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en .

Par les mêmes calculs que précédemment, il est facile de voir que cette solution vérifie le théorème de Stampacchia et est donc l'unique solution.

Problème en dimensions supérieures à 2[modifier | modifier le code]

Enfin, ce problème peut être étudié en dimension supérieure utilisant alors la notion de gradient à la place des dérivées. Une des applications physiques est le recouvrement d'un objet par une membrane élastique.