Problème de l'obstacle

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Le problème de l'obstacle est un exemple classique de motivation de l'étude mathématique des inégalités variationnelles et des problèmes à frontière libre. Il consiste à trouver la position d'équilibre d'une membrane élastique dont les bords sont fixes et devant passer au-dessus d'un obstacle donné. Il est profondément lié à l'étude des surfaces minimales et de la capacité d'un ensemble en théorie du potentiel. Les applications s'étendent à l'étude de la filtration d'un fluide en milieu poreux, au chauffage contraint, l'élastoplasticité, le contrôle optimal et les mathématiques financières[1].

Mathématiquement, le problème se voit comme la minimisation de l'énergie de Dirichlet (en),

sur un domaine D où les fonctions u décrivent le déplacement vertical de la membrane. Les solutions doivent satisfaire des conditions au bord de Dirichlet et être supérieures à une fonction obstacle χ(x). La solution se distingue sur deux parties : une où elle est égale à l'obstacle (ensemble de contact) et une où elle y est strictement supérieure. L'interface entre les régions est appelée frontière libre.

En général, la solution est continue et sa dérivée est lipschitzienne, mais sa dérivée seconde est généralement discontinue à la frontière libre. La frontière libre est caractérisée comme une surface continue au sens de Hölder sauf en des points singuliers, situés sur une variété lisse.

Note historique[modifier | modifier le code]

« Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo sempre dalla sua disequazione variazionale, aperse un nuovo campo di ricerche che si rivelò importante e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il problema dell'ostacolo. »

— Sandro Faedo, (Faedo 1986, p. 107)

ce qui peut se traduire en :

« Quelque temps après Stampacchia, en repartant de son inégalité variationnelle, est apparu un nouveau champ de recherches, qui s'est montré tout aussi important et riche. Il est maintenant appelé problème de l'obstacle [sic]. »

Approches intuitives[modifier | modifier le code]

Forme d'une membrane sur un obstacle[modifier | modifier le code]

Le problème de l'obstacle apparait quand on considère la forme prise par un film de savon dans un domaine dont la valeur à la frontière est fixée (comme le problème de Plateau), avec la contrainte ajoutée que la membrane doit passer au-dessus d'un obstacle χ(x) à l'intérieur du domaine[2]. De plus, pour de petites variations, minimiser sa longueur revient à minimiser son énergie, en effet paramétrant l'élastique sur l'intervalle [-1,1] par

la longueur de l'élastique entre -1 et 1 est donnée par :

.

L'objectif est donc de minimiser cette longueur, c'est-à-dire trouver

.

Or, si u' est suffisamment petit, le problème peut être linéarisé en remarquant que

.

Minimiser la longueur de l'élastique revient donc à minimiser son énergie de Dirichlet (en) :

Arrêt optimal[modifier | modifier le code]

En théorie du contrôle, le problème de l'obstacle peut venir en cherchant le temps d'arrêt optimal d'un processus stochastique avec une fonction de gain χ(x).

Dans le cas simple du mouvement brownien, et le processus doit s'arrêter dès qu'on sort du domaine, la solution u(x) du problème d'obstacle peut être caractérisée par la valeur attendue du succès, en commençant le process au point x, si la stratégie d'arrêt optimal est suivie. Le critère d'arrêt consiste à s'arrêter une fois l'ensemble de contact atteint[3].

Formulation[modifier | modifier le code]

On suppose :

  1. un domaine ouvert borné D ⊂ ℝn à frontière lisse
  2. une fonction lisse f(x) sur D (la frontière du domaine)
  3. une fonction lisse χ(x) définie sur tout D telle que , i.e. la restriction de χ sur la frontière de D (sa trace) est majorée par une fonction f.

Soit l'ensemble :

qui est un sous-ensemble fermé convexe de l'espace de Sobolev des fonctions de carré intégrable sur D et de dérivées faibles de carré intégrable, satisfaisant aux conditions voulues par rapport à l'obstacle. La solution au problème de l'obstacle est la fonction vérifiant :

L'existence d'une solution est assurée par des considérations dans la théorie des espaces de Hilbert[2],[4].

Formulations alternatives[modifier | modifier le code]

Inégalités variationnelles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Inégalité variationnelle.

Le problème de l'obstacle peut être reformulé comme un problème standard dans le cadre des inégalités variationnelles sur les espaces de Hilbert. Chercher le minimisateur d'énergie dans l'ensemble K des fonctions admissibles est équivalent à chercher

avec ⟨ . , . ⟩ : ℝn × ℝn → ℝ le produit scalaire classique sur ℝn. C'est un cas particulier de la forme plus générale des inégalités variationnelles sur les espaces de Hilbert, de la forme

avec K un sous-ensemble fermé convexe, a(u,v) une forme bilinéaire réelle bornée et coercive, f (v) une forme linaire bornée[5].

Fonction surharmonique moindre[modifier | modifier le code]

Un argument variationnel montre que hors de l'ensemble de contact, la solution du problème de l'obstacle est harmonique. Un argument similaire restreint aux variations positives montre qu'elle est surharmonique sur l'ensemble de contact. Ainsi, les deux arguments montre que la solution est surharmonique[1].

En fait, par le principe du maximum, on voit que la solution au problème est la fonction la moins surharmonique dans l'ensemble des fonctions admissibles[5].

Recherche intuitive de la solution[modifier | modifier le code]

Etablissons un raisonnement afin de trouver une solution explicite au problème de l'obstacle où et . L'obstacle est donc une parabole symétrique.

Forme de la solution près des bords[modifier | modifier le code]

Proposition — Sur est une droite.

Le saut de la dérivée en est "positif"

Proposition —  Soit est une droite telle que et coupe au point d'abscisse , à partir de ce point (voir figure). Ainsi tels que soient très proches de . Alors au sens des distributions sur .

Comparaison d'énergies[modifier | modifier le code]

Proposition —  Soit la tangente à au point d'abscisse telle que . Soit la tangente à au point d'abscisse telle que . Définissons deux fonctions dans  :

  • L'énergie de , est inférieure à celle de , .
  • En considérant telle qu'elle a été définie précédemment et un triangle centré (voir figure 2), l'énergie de est supérieure à celle de .
  • L'énergie d'un triangle décentré est supérieure à celle d'un triangle centré (voir figure 2).
  • Soit la solution tordue (voir figure 2). Alors l'énergie de est supérieure à celle de .
Fig. 3: Solution dans le cas d'un obstacle concave

La solution semble donc être (voir Fig. 3)

,

et on vérifie facilement que c'est le cas car cette solution vérifie le théorème de Stampacchia qui garantit son unicité :

Régularité[modifier | modifier le code]

Solution d'un problème de l'obstacle en dimension 1. On voit que la solution est surharmonique (ici, concave), et a des valeurs de dérivées égales à l'obstacle au bord de l'ensemble de contact (traduction de la condition C1,1)

Régularité optimale[modifier | modifier le code]

La solution à la dérivée de l’obstacle a une régularité de classe C1,1, ou de dérivée seconde bornée, si l'obstacle a de telles propriétés[6]. Plus précisément, les modules de continuité de la solution et de sa dérivée sont liés à ceux de l'obstacle.

  1. si l'obstacle χ(x) a un module de continuité σ(r), donc tel que , alors le module de continuité de la solution u(x) vaut C0 σ(2r), avec C0 une constante ne dépendant que du domaine (et pas de l'obstacle).
  2. si la dérivée de l'obstacle a un module de continuité σ(r), alors la dérivée de la solution a pour module de continuité C1 r σ(2r), avec C1 une constante ne dépendant là aussi que du domaine[7].

Surfaces de niveau et frontière libre[modifier | modifier le code]

Sous une condition de dégénérescence, les niveaux de la différence entre la solution et l'obstacle pour t > 0 sont des surfaces C1,α. La frontière libre, soit le bord du domaine de contact, est également C1,α sauf sur un ensemble de points singuliers, eux-mêmes isolés ou localement contenus dans une variété de classe C1[8].

Extensions du problème[modifier | modifier le code]

Obstacle non concave[modifier | modifier le code]

Fig. 4: Solution du problème avec obstacle non-concave

Considérons maintenant un autre obstacle, à savoir : sur . Le raisonnemement établi lors de l'étude de l'obstacle précédent nous laisse penser que la solution éventuelle serait de la forme (voir Fig. 4):

et sont tels que :

  • est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en ,
  • atteint son maximum sur au point ;
  • Par symétrie, comme est une fonction paire, et . Ainsi, atteint son maximum sur au point et est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en .

Cette solution vérifie bien le théorème de Stampacchia car

et est donc l'unique solution.

Double obstacle[modifier | modifier le code]

En considérant maintenant le convexe fermé

,

on peut alors étudier le problème à deux obstacles. Considérons les obstacles et sur .

Le raisonnemement établi précédemment laisse penser que la solution éventuelle serait de la forme (voir Fig. 5):

Problème de l'obstacle double : la fonction solution (rouge) doit passer entre les deux fonctions obstacle (en bleu)

et sont tels que

  • est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en ,
  • est la tangente commune aux deux obstacles. Elle est la tangente de au point d'abscisse et est la tangente de au point d'abscisse .
  • Par symétrie, comme et sont deux fonctions paires, , et . Ainsi, est la tangente de au point d'abscisse et est la tangente de au point d'abscisse et

est la tangente de au point d'abscisse s'annulant en .

Par les mêmes calculs que précédemment, il est facile de voir que cette solution vérifie le théorème de Stampacchia et est donc l'unique solution.

Problème en dimensions supérieures à 2[modifier | modifier le code]

Le problème de l'obstacle peut être étudié en dimension supérieure, en utilisant alors la notion de gradient à la place des dérivées. Une des applications physiques est le recouvrement d'un objet par une membrane élastique.

En effet, sur un ouvert borné de , pour , nous avons l'expression de la mesure de la surface de suivante :

Cette quantité est bien définie sur , car sachant que , on a , alors on obtient l'inégalité :

De même qu'en dimension 1, il est possible de linéariser le problème, de façon analogue, ainsi le problème original dans lequel la nouvelle quantité à minimiser devient :

Autres généralisations[modifier | modifier le code]

La théorie du problème de l'obstacle peut s'étendre aux opérateurs elliptiques[5] et leurs fonctionnelles énergies associées, ou même les opérateurs elliptiques dégénérés.

Le problème de Signorini est une variante du problème de l’obstacle, où la fonctionnelle énergie est minimisée sous une contrainte définie sur une surface d'une dimension moindre, comme le problème de l'obstacle aux frontières, où la contrainte s'applique au bord du domaine.

Les cas dépendant du temps, ou parabolique, sont également des sujets d'étude.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Caffarelli 1998, p. 384.
  2. a et b Caffarelli 1998, p. 383.
  3. (Evans Version 1.2).
  4. Kinderlehrer et Stampacchia 1980, p. 40–41.
  5. a b et c Kinderlehrer et Stampacchia 1980, p. 23–49.
  6. Frehse 1972.
  7. Caffarelli 1998, p. 386.
  8. Caffarelli 1998, p. 394 and 397.

Notes[modifier | modifier le code]

  • (it) Sandro Faedo, « Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985) », Atti dei Convegni Lincei, Roma, Accademia Nazionale dei Lincei, vol. 77,‎ , p. 89–109 (lire en ligne). "Leonida Tonelli et l'école mathématique de Pise" est une étude sur l'oeuvre de Tonelli à Pise et son influence dans le développement de l’école, présentée à l' International congress in occasion of the celebration of the centenary of birth of Mauro Picone and Leonida Tonelli (tenue à Rome entre le 6 et le 9 mai 1985). L'auteur était un de ses élèves et, après sa mort, a obtenu sa chaire d'analyse mathématique à l'Université de Pise, devenant doyen de la faculté des sciences puis recteur : il a exercé une forte influence positive sur le développement de l'université.
  • (en) Luis Caffarelli, « The obstacle problem revisited », The Journal of Fourier Analysis and Applications, vol. 4, nos 4–5,‎ , p. 383–402 (DOI 10.1007/BF02498216, Math Reviews 1658612, zbMATH 0928.49030, lire en ligne)
  • (en) Lawrence C. Evans, « An Introduction to Stochastic Differential Equations », (consulté le 11 juillet 2011). Un ensemble de présentations « sans trop de détails précis, les bases de la théorie des probabilités, des équations différentielels aléatoires et quelques applications », selon les mots de l'auteur.
  • (en) Jens Frehse, « On the regularity of the solution of a second order variational inequality », Bolletino della Unione Matematica Italiana, série Serie IV,, vol. 6,‎ , p. 312–315 (Math Reviews 318650, zbMATH 0261.49021).
  • (en) Avner Friedman, Variational principles and free boundary problems, New York, John Wiley & Sons, , ix+710 p. (ISBN 0-471-86849-3, Math Reviews 0679313, zbMATH 0564.49002).
  • (en) David Kinderlehrer et Guido Stampacchia, « An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications », Pure and Applied Mathematics, New York, Academic Press, vol. 88,‎ , xiv+313 (ISBN 0-12-407350-6, Math Reviews 0567696, zbMATH 0457.35001)
  • (en) Luis Caffarelli, « The Obstacle Problem revisited », Journal of Fourier Analysis and Applications,‎ , p. 383-402 (lire en ligne)