Problème de Souslin

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En mathématiques, le problème de Souslin est une question sur les ensembles totalement ordonnés, posée par Mikhail Souslin (en) dans un article publié en 1920 peu après sa mort[1].

Formulation[modifier | modifier le code]

Étant donné un ensemble non vide S totalement ordonné tel que :

  1. S n' a pas de plus grand ni de plus petit élément ;
  2. l'ordre sur S est dense (c'est-à-dire qu'entre deux éléments distincts de S il y en a toujours au moins un troisième) ;
  3. toute partie non vide majorée admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée admet une borne inférieure  ;
  4. toute famille d'intervalles ouverts non vides de S deux à deux disjoints est dénombrable (c'est la condition de chaîne dénombrable),

existe-t-il nécessairement un isomorphisme pour l'ordre entre S et la droite réelle ? La réponse par l'affirmative constitue ce qui est connu comme l'hypothèse de Souslin.

Tout ensemble non vide totalement ordonné qui satisfait les conditions 1 à 4 et qui n'est pas isomorphe pour l'ordre à R est une droite de Souslin. L'hypothèse de Souslin est donc qu'il n'existe pas de droite de Souslin.

Il a été démontré que cette hypothèse est indépendante des axiomes ZFC de la théorie des ensembles[2].

Les droites de Souslin existent si l'axiome de constructibilité V = L est ajouté à la théorie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. M. Souslin, « Problème 3 », Fundamenta Mathematicae, vol. 1,‎ , p. 223
  2. (en) R. M. Solovay et S. Tennenbaum, « Iterated Cohen extensions and Souslin's problem », Annals of Math. (2), vol. 94,‎ , p. 201-245 (DOI 10.2307/1970860)