Probabilité de commutativité

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En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la probabilité de commutativité (également appelée degré de commutativité) d'un groupe fini est la probabilité que deux éléments choisis au hasard commutent[1],[2]. Elle peut être utilisée pour mesurer à quel point un groupe fini est proche d'être abélien.

Définition

Soit un groupe fini. On définit comme le nombre moyenné de paires d'éléments de qui commutent :

Si on considère la loi uniforme sur , est la probabilité que deux éléments de choisis au hasard commutent. C'est pourquoi est appelée la probabilité de commutativité de .

Résultats

  • Le groupe fini est abélien si et seulement si .
  • On a
est le nombre de classes de conjugaison de .
  • Si n'est pas abélien, alors (ce résultat est parfois appelé le théorème 5/8[3]) et cette borne supérieure est atteinte: il existe une infinité de groupes finis tels que , le plus petit est le groupe diédral d'ordre 8).
  • Il n'y a pas de borne inférieure uniforme pour . En fait, pour tout entier naturel non nul, il existe un groupe fini tel que .
  • Si n'est pas abélien mais est simple, alors (cette borne est atteinte pour , le groupe alterné d'ordre 5).

Généralisations

Références

  1. W. H. Gustafson, « What is the Probability that Two Group Elements Commute? », The American Mathematical Monthly, vol. 80, no 9,‎ , p. 1031–1034 (DOI 10.1080/00029890.1973.11993437)
  2. A. K. Das, R. K. Nath et M. R. Pournaki, « A survey on the estimation of commutativity in finite groups », Southeast Asian Bulletin of Mathematics, vol. 37, no 2,‎ , p. 161–180
  3. John C. Baez, « The 5/8 Theorem », sur Azimut,
  4. Desmond Machale, « Commutativity in Finite Rings », The American Mathematical Monthly, vol. 83,‎ , p. 30–32 (DOI 10.1080/00029890.1976.11994032)
  5. Karl H. Hofmann et Francesco G. Russo, « The probability that x and y commute in a compact group », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 153, no 3,‎ , p. 557–571 (DOI 10.1017/S0305004112000308, arXiv 1001.4856)