Polynômes de Bell

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En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, les polynômes de Bell, nommés ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, sont donnés par :

où la somme porte sur toutes les suites j1, j2, j3, …, jnk+1 d'entiers naturels telles que :

et

Polynômes de Bell complets[modifier | modifier le code]

La somme

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes Bnk définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets Bn peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :

avec δk le symbole de Kronecker. La matrice dont Bn est le déterminant est une matrice de Hessenberg.

Interprétation combinatoire[modifier | modifier le code]

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j1 fois, "2" apparait j2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

Exemples[modifier | modifier le code]

Par exemple, nous avons :

car il y a :

  • 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
  • 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
  • 10 partitions de la forme 3 + 3.

De même :

car il y a :

  • 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
  • 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
  • 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Formule de récurrence[modifier | modifier le code]

avec B0 = 1.

Nombre de Stirling de seconde espèce[modifier | modifier le code]

Nombre de Bell[modifier | modifier le code]

Nombre de Stirling de première espèce (non signés)[modifier | modifier le code]

Nombre de Lah[modifier | modifier le code]

Factorielle[modifier | modifier le code]

pour n ≥ 2.

Dernier argument[modifier | modifier le code]

Type binomial[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Type binomial (en).

avec B0 = 1.

Réciproque[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction infiniment dérivable en un point a et de réciproque f -1, alors :

[1]

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

En prenant f(x) = ex (soit f -1(x) = ln(x)) infiniment dérivable en 0, on a :

d’où :

soit :


En prenant f(x) = xα avec α ≠ 0 (soit f -1(x) = x1/α) infiniment dérivable en 1, on a :

avec .k la factorielle décroissante, d’où :

Factorielle décroissante[modifier | modifier le code]

[2]

avec .k la factorielle décroissante.

Comportement d’échelle[modifier | modifier le code]

Polynômes de Bell partiels[modifier | modifier le code]

Cas général
Cas particuliers

Polynômes de Bell complets[modifier | modifier le code]

Cas général
Cas particuliers
Autre expression

avec .k la factorielle décroissante.

Identité de convolution[modifier | modifier le code]

Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit le n-ème terme de la suite

Alors :

Applications[modifier | modifier le code]

Formule de Faà di Bruno[modifier | modifier le code]

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

et

Alors :

Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle (en) :

Moments et cumulants[modifier | modifier le code]

Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe, on a :

avec mr le moment ordinaire d’ordre r et κ1, κ2, …, κr les cumulants d’ordre 1 à r.

Représentations de suites polynomiales[modifier | modifier le code]

Pour toute suite a1, a2, a3, … de scalaires, soit :

Cette suite de polynômes est de type binomial (en), c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :

pour n ≥ 0.

En fait, on a également la réciproque :

Théorème
Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.

Si nous posons

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “Application of Faà di Bruno’s formula in characterization of inverse relations”, dans Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 190, 2006, p. 151–169
  2. (en) Andrzej Korzeniowski, “Binomial Tails Domination for Random Graphs via Bell Polynomials”, dans JPSS, vol. 4, n° 1, 2006, p. 99-105

Articles connexes[modifier | modifier le code]