Polynôme séquentiel

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Un polynôme séquentiel (ou polynôme de Littlewood)^[1] est un polynôme dont les coefficients appartiennent tous à {-1, 1}.

Un tel polynôme peut donc se mettre sous la forme :

$P(X)=\sum _{i=0}^{l-1}a_{i}X^{i}$

où la suite des $a_{i}$ s'écrit :

$a=(a_{0},...,a_{l-1})$

et est appelée « séquence ».

On dit que deux séquences a et b sont complémentaires lorsque :

$\forall j\in [1,l-1],\sum _{i=0}^{l-1-j}a_{i}a_{i+j}+b_{i}b_{i+j}=0$

On appelle ${\mathcal {L}}$ l'ensemble des longueurs l pour lesquelles il existe des séquences complémentaires. Cet ensemble fait encore l'objet de recherches.

On peut lire dans le sujet du concours X-ESPCI de Polytechnique et de l'ESPCI, filière PC, de 2006 :

« Ces polynômes ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique. »

Note et référence[modifier | modifier le code]

↑ (en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York, Springer, 2002, 220 p. (ISBN 978-0-387-95444-8, LCCN 2002019558, lire en ligne), p. 1-58, les appelle « polynômes de Littlewood ».

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[1] (en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York, Springer, 2002, 220 p. (ISBN 978-0-387-95444-8, LCCN 2002019558, lire en ligne), p. 1-58, les appelle « polynômes de Littlewood ».

[1]