Polynôme de Legendre

Polynômes de Legendre

En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales P_n(x) de l'équation différentielle de Legendre :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P_{n}(x)\right]+n(n+1)\,P_{n}(x)=0$,

dans le cas particulier où le paramètre n est un entier. Les polynômes de Legendre sont définis uniquement pour x ∈ [-1 ; 1] puisque les points x = ±1 sont des points singuliers réguliers de cette équation différentielle.

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.

Une définition équivalente, plus abstraite mais intéressante sur le plan conceptuel, est de considérer que les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme défini sur $\mathbb {R} [X]$ par :

$P\in \mathbb {R} [X]\mapsto u(P)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\right]$,

pour la valeur propre $-n(n+1),\ n\in \mathbb {N}$.

Les polynômes de Legendre constituent le cas particulier des polynômes de Jacobi P(α,β)
n pour lequel les paramètres α et β sont nuls : P_n(x) = P(0,0)
n(x).

Définitions et propriétés générales

Définition en tant que solution de l'équation de Legendre

On appelle équation de Legendre l'équation :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+\alpha (\alpha +1)\,y=0$,

avec en général $\alpha \in \mathbb {R}$. Il est possible de rechercher des solutions à cette équation différentielle sous forme de séries entières, par exemple en utilisant la méthode de Frobenius. Comme l'équation différentielle admet pour point singuliers réguliers (pôles simples) les valeurs x = ±1, cette série ne convergera que pour |x| < 1.

Dans le cas particulier où α = n entier naturel, il est possible d'obtenir des solutions qui soient régulières aux points x = ±1, et pour lesquelles la série s'arrête au terme de degré n, c'est-à-dire des solutions sous forme de polynômes.

Par suite le polynôme de Legendre P_n (pour tout entier naturel n, et pour x ∈ [-1 ; +1]) est donc une solution de l'équation différentielle :

${\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}\right]+n(n+1)\,P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.$

Cette équation est naturellement liée à l'équation de Laplace Δf = 0, écrite en coordonnées sphériques, qui intervient notamment en électrostatique. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut φ sous la forme d'un produit f(r,θ) = A(r)B(θ) de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par B ainsi obtenue est de la forme :

$\left({\frac {1}{\sin \theta }}\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} \theta }}\right)+n(n+1)\,B=0$,

où n(n + 1) est la constante de séparation. Le changement de variable x = cos θ permet de vérifier que B suit l'équation de Legendre. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour x → ±1 sont alors celles pour lesquelles n est entier, donc les polynômes de Legendre.

Démonstration

En effet, en coordonnées sphériques (r, θ, φ) l'équation de Laplace s'écrit:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0$.

Dans le cas où le problème est telle que la solution ne dépend pas de l'angle d'azimut φ, et en recherchant donc une solution par la méthode de séparation des variables, soit de la forme f(r, θ) = A(r)B(θ) il vient par substitution :

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dA}{dr}}\right)B(\theta )+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {dB}{d\theta }}\right)A(r)=0$,

soit en divisant membre à membre par le produit A(r)B(θ) :

${\frac {1}{A(r)r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dA}{dr}}\right)=-{\frac {1}{B(\theta )r^{2}\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {dB}{d\theta }}\right)$.

Comme on doit avoir égalité entre chacun des deux membres, dépendant de deux variables différentes, pour toutes les valeurs possible de ces dernières, chacun d'eux doit être égal à une constante, dite de séparation, qu'il est possible d'écrire sans perte de généralité sous la forme α(α + 1) avec α réel. Le changement de variable x = cos θ permet de mettre l'équation issue du second membre sous la forme d'une équation de Legendre. Toutefois en physique on cherche des solutions définies pour toutes les valeurs possibles de l'angle θ, soit en fait régulières en x = ±1, donc avec α = n, n entier, la partie angulaire de l'équation de Laplace se met donc bien sous la forme indiquée.

Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphisme

De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre P_n comme les fonctions propres pour les valeurs propres –n(n+ 1), avec n entier, de l'endomorphisme défini sur $\mathbb {R} [X]$:

$P\in \mathbb {R} [X]\mapsto u(P)={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P}{{\textrm {d}}x}}\right]$.

Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre.

Fonction génératrice

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa série génératrice :

${\frac {1}{\sqrt {1-2xz+z^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\,z^{n}$.

Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel (développement multipolaire).

Si l'on considère qu'en général z est complexe, le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint (1-2xz+z^{2})^{-1/2}\,z^{-n-1}\,\mathrm {d} z$

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.

Autres définitions

Formule de récurrence de Bonnet

Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre (n + 1) à partir de ceux d'ordres n et (n – 1).

Pour tout entier n ≥ 1 :

$(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)$

avec P₀(x) = 1 et P₁(x) = x. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.

Démonstration

En dérivant par rapport à la variable t la définition des polynômes de Legendre à partir de la fonction génératrice, il vient après réarrangement :

${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}.$.

En utilisant à nouveau ${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$, il vient

$\sum _{n=0}^{\infty }xP_{n}(x)t^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)P_{n+1}(x)t^{n}-2\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)xP_{n+1}(x)t^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)P_{n+1}(x)t^{n+2}.$

En identifiant alors les coefficients des termes de même puissance de t, il vient alors :

• pour n = 0, $xP_{0}(x)=P_{1}(x)$, soit en prenant pour condition de normalisation $P_{0}(x)=1,\forall x\in [-1,1]$, il vient P₁(x) = x ;
• pour n = 1, $3xP_{1}(x)-P_{0}(x)=2P_{2}(x)$, soit avec la même condition de normalisation que précédemment $P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}$;
• de façon générale pour n ≥ 1, $(2n+1)xP_{n}(x)=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)$, ce qui redonne bien la formule de récurrence précédente.

Formule de Rodrigues

En prenant pour condition de normalisation P₀(x) = 1, le polynôme P_n(x) peut s'exprimer en utilisant la formule de Rodrigues :

$P_{n}(x)=\left({\frac {1}{2^{n}n!}}\right){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$.

Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}$

(on en déduit $P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}\,$)

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}$

où on a utilisé :

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$

Quelques polynômes

Les onze premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre

• $P_{0}(x)=1\,$
• $P_{1}(x)=x\,$
• $P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,$
• $P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\,$
• $P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
• $P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
• $P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
• $P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
• $P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
• $P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
• $P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

Propriétés

Degré

Le polynôme P_n est de degré n.

Base

La famille $(P_{n})_{n\leq N}$ étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel $\mathbb {R} _{N}[X]$.

Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,$

(en particulier, $P_{n}(-1)=(-1)^{n}$ et $P_{2n+1}(0)=0$).

Orthogonalité

Une propriété importante des polynômes de Legendre est leur orthogonalité. Il est possible de montrer, pour tout m, n entiers, que :

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

Il est possible d'interpréter cette relation en introduisant le produit scalaire de deux fonctions, défini à partir de l'intégrale du produit des deux fonctions sur un intervalle borné :

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)W(x)~\mathrm {d} x$,

où W(x) est appelé « fonction poids », [a , b] étant l'intervalle d'orthogonalité des deux fonctions, qui peut être infini sous réserve de convergence de l'intégrale.

Dans le cas des polynômes de Legendre l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1, il est donc possible d'écrire : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ défini sur $\mathbb {R} [X]$ par la relation :

$\langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$.

Démonstration

La définition même de P_n montre qu'il s'agit d'un vecteur propre pour la valeur propre –n(n + 1) de l'endomorphisme :

$P\in \mathbb {R} [X]\to u(P)={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P}{{\textrm {d}}x}}\right]$,

Or cet endomorphisme est symétrique pour le produit scalaire précédent, puisqu'en effectuant deux intégrations par parties successives il vient:

$\forall P,Q\in \mathbb {R} [X],\quad \langle u(P),Q\rangle =\int _{-1}^{+1}u(P)(x)Q(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{-1}^{+1}P'(x)(1-x^{2})Q'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-1}^{+1}P(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left((1-x^{2})Q'(x)\right)\mathrm {d} x=\langle P,u(Q)\rangle$.

Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale.

De plus, comme $(P_{n})_{n\leq N}$ est une base de $\mathbb {R} _{N}[X]$, on a $P_{N+1}\in (\mathbb {R} _{N}[X])^{\bot }$, c'est-à-dire :

$\forall Q\in \mathbb {R} _{N}[X],\int _{-1}^{1}P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm {d} x=0$

Norme

Le carré de la norme, dans L²([-1,1]), est

$\|P_{n}\|^{2}={\frac {2}{2n+1}}.$

En effet, pour tout n > 1, on peut établir la relation

$P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_{n},\,$

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, P_{k – 1}' est de degré k – 2 < k donc est orthogonal à P_k, et en effectuant une intégration par parties) :

$\langle P_{n},(2n+1)P_{n}\rangle =\langle P_{n},P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle =\langle P_{n},P'_{n+1}\rangle =[P_{n}P_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_{n},P_{n+1}\rangle =[P_{n}P_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.$

Comme P_nP_{n + 1} est impair et pour tout k, P_k(1) = 1, on aboutit ainsi à (2n + 1)||P_n||² = 2.

Théorème d'addition

Si 0 ≤ ψ₁ < π, 0 ≤ ψ₂ < π, ψ₁ + ψ₁ < π et ϕ un réel quelconque, alors

$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi ,$

ce qui est équivalent à

$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi .$

On a aussi

$Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \phi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\phi$

sous l'hypothèse que 0 ≤ ψ₁ < ψ₂.

Décomposition en série de polynômes de Legendre

Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(z)$

avec $\forall n\in \mathbb {N} ,\lambda _{n}\in \mathbb {C} .$

Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note ${\tilde {P_{n}}}$ le quotient du polynôme P_n par sa norme.

Soit f une application continue sur [–1 ; 1]. Pour tout entier naturel n on pose

$c_{n}(f)=\int _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,\mathrm {d} x,$

Alors la suite (c_n(f)) est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur $\mathbb {R} _{n}[X]$ :

$S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}.$

On a de plus :

1. $\forall x\in [-1,1],\;S_{n}f(x)=\int _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,\mathrm {d} y$, avec le noyau $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {{\tilde {P}}_{n+1}(x){\tilde {P}}_{n}(y)-{\tilde {P}}_{n+1}(y){\tilde {P}}_{n}(x)}{x-y}};$
2. $S_{n}f(x)-f(x)=\int _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} y.$

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :^{[réf. souhaitée]}

$\forall x\in ]-1,1[,\;\lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

autrement dit, l'égalité

$f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}$

est vraie non seulement au sens L² mais au sens de la convergence simple sur ]–1 ; 1[.

Intégration numérique d'une fonction

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1 ; 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

$\int _{-1}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

avec :

• $(x_{i})_{i\leq n}$ l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre P_n
• $(w_{i})_{i\leq n}$ les poids respectifs : $w_{i}={\frac {-2}{(n+1)P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}}$

En particulier, la formule à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n – 1.

Applications en physique

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :

${\frac {1}{\left|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),{\text{ avec }}r>r'$

où r et r' sont les normes des vecteurs $\mathbf {\vec {r}}$ et $\mathbf {\vec {r}} ^{\prime }$, respectivement, et $\gamma$ est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace $\nabla ^{2}V(\mathbf {\vec {r}} )=0$ pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :

$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).$

Voir aussi

Articles connexes

• Polynômes orthogonaux
• Harmoniques sphériques
• Mesures secondaires
• Polynômes associés de Legendre
• Fonction de Legendre

Bibliographie

• (en) I. S. Gradshteyn et I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and ProductsGradshteyn-Ryzhik, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (éd.), Academic Press, 7^e éd., 2007 (ISBN 978-0-08047111-2) [lire en ligne] et errata
• Georgette de Nockere, Tables numériques des polynômes de Legendre, ARB, 8^e éd., 1949
• Joseph Kampé de Fériet, Fonctions de la physique mathématique, CNRS, 1957
• Sujet de CAPES 1989