Polynôme d'Hermite

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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Définition[modifier | modifier le code]

Ils sont définis comme suit :

(forme dite probabiliste)
(forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : . La formule physique peut également s'écrire sous forme de développement polynomial[1] :

désigne la partie entière de n/2.

Polynômes d'Hermite

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

On peut démontrer que dans Hp les coefficients d'ordre ayant la même parité que p-1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p-2 valent respectivement 1 et -p(p-1)2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Le polynôme Hp est de degré p. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité

c'est-à-dire qu'ils vérifient :

est le symbole de Kronecker. On a de même pour la forme physique :

Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert des fonctions boréliennes telles que

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.

Propriétés de récurrence[modifier | modifier le code]

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :

Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :

En outre, ils satisfont la propriété :

Un développement de Taylor à l'ordre de autour de donne les formules suivantes :

Fonctions d'Hermite-Gauss[modifier | modifier le code]

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :

et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure (démontrée plus haut) nous assure que, en prenant , les fonctions d'Hermite-Gauss sont orthogonales entre elles :

La famille des fonctions est utilisée en physique quantique comme étant la famille des fonctions d'onde des états propres de l'oscillateur harmonique quantique.

Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle , et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence : ainsi que .

Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant la transformation de Fourier (avec la convention ), elle forme une base hilbertienne de formée de vecteurs propres de  :

On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme de Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec on obtiendra . La forme fréquentielle de la transformée de Fourier sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, , pour lesquelles on aura .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal,‎ , p. 73-76 (lire en ligne)