Polyèdre adouci

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En géométrie, un polyèdre adouci est un polyèdre obtenu en écartant les faces d'un polyèdre et en comblant les trous par des triangles équilatéraux. Souvent, cela consiste à remplacer chaque sommet du polyèdre par un triangle équilatéral et chaque arête par deux triangles équilatéraux.

L'appellation "adouci" vient du fait que le polyèdre obtenu par cette déformation possède des angles dièdres beaucoup moins aigus et une surface plus proche de celle de la sphère.

Chiralité et groupes de symétrie[modifier | modifier le code]

La plupart des polyèdres adoucis sont chiraux.

Les polyèdre adoucis chiraux n'ont pas de symétries réflectives, ils ont de ce fait 2 formes énantiomorphes qui sont symétriques l'une de l'autre et non superposables dans un miroir. C'est le cas du cube adouci :

Le cube adouci (sens anti-horaire) Le cube adouci (sens horaire)

Ils ont cependant des groupes de symétrie qui sont des rotations qui laissent le polyèdre globalement inchangé. Il y en a deux grands types :

Liste des polyèdres adoucis[modifier | modifier le code]

Polyèdres adoucis uniformes[modifier | modifier le code]

Il y a en tout 12 polyèdres adoucis uniformes.

Mais on rajoute ici également :

  • L'icosaèdre régulier (qui est cependant rarement considéré comme tel), mais il peut être en effet obtenu en changeant les 4 sommets d'un tétraèdre par 4 triangles et ses 6 arêtes par 6 paires de triangles : 4 + 4 + 2 \times 6 = 20, on obtient bien un icosaèdre.
  • Le grand dirhombidodécaèdre disadouci qui n'est pas considéré comme strictement uniforme (mais seulement uniforme au sens large), car il possède la particularité étrange de faire se rencontrer plus de deux faces sur une même arête. Il est parfois appelé "polyèdre de Skilling".


Les polyèdres adoucis uniformes
Polyèdre adouci Image Polyèdre d'origine Image Groupe de symétrie
icosaèdre Icosaedre-tetraedre adouci.jpg tétraèdre Tetrahedron.png I + symétries réflectives
cube adouci Snub hexahedron.png cube Hexahedron.png O
dodécaèdre adouci Snub dodecahedron ccw.png dodécaèdre Dodecahedron.png I
grand dodécicosidodécaèdre adouci Great snub dodecicosidodecahedron.png grand dodécicosidodécaèdre Great dodecicosidodecahedron.png I
icosidodécadodécaèdre adouci Snub icosidodecadodecahedron.png icosidodécadodécaèdre Icosidodecadodecahedron.png I
dodécadodécaèdre adouci Snub dodecadodecahedron.png dodécadodécaèdre Dodecadodecahedron.png I
dodécadodécaèdre adouci inversé Inverted snub dodecadodecahedron.png dodécadodécaèdre Dodecadodecahedron.png I
grand icosidodécaèdre adouci inversé Great inverted snub icosidodecahedron.png grand icosidodécaèdre Great icosidodecahedron.png I
grand icosidodécaèdre rétroadouci Great retrosnub icosidodecahedron.png grand icosidodécaèdre Great icosidodecahedron.png I
grand icosidodécaèdre adouci Great snub icosidodecahedron.png grand icosidodécaèdre Great icosidodecahedron.png I
petit icosicosidodécaèdre adouci Small snub icosicosidodecahedron.png petit icosicosidodécaèdre Small icosicosidodecahedron.png I + symétries réflectives
petit icosicosidodécaèdre rétroadouci Small retrosnub icosicosidodecahedron.png petit icosicosidodécaèdre Small icosicosidodecahedron.png I + symétries réflectives
grand dirhombicosidodécaèdre Great dirhombicosidodecahedron.png I + symétries réflectives
grand dirhombidodécaèdre disadouci Great disnub dirhombidodecahedron.png grand dirhombicosidodécaèdre Great dirhombicosidodecahedron.png I + symétries réflectives

Quelques remarques :

  • Les trois premiers sont les seuls à être convexes et non-croisés. Ils sont obtenus par l'adoucissement de solides de Platon, à savoir, respectivement : le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. Il est impossible d'adoucir les deux autres solides de Platon (à savoir l'icosaèdre et l'octaèdre) parce qu'on obtiendrait alors plus de 6 triangles équilatéraux à un même sommet : impossible (et également parce qu'il faudrait remplacer un sommet d'ordre 4 ou 5 par un triangle qui ne remplace que les sommets d'ordre 3).
  • Le cube adouci est le seul à posséder un groupe de symétrie de type O.
  • L'icosaèdre et les quatre derniers ont, en plus de leur groupe de rotations, des symétries réflectives.

Polyèdres adoucis non-uniformes[modifier | modifier le code]

Deux des solides de Johnson sont également adoucis : le disphénoïde adouci et l'antiprisme carré adouci. Chacun des deux est formé par séparation du polyèdre d'origine en deux (le long d'arêtes) et par remplissage de l'écart par des triangles. Aucun n'est chiral.

Les polyèdres adoucis non-uniformes
Polyèdre adouci Image Polyèdre d'origine Image Groupe de symétrie
disphénoïde adouci Snub disphenoid.png disphénoïde Disphenoid tetrahedron.png D_{2d}
antiprisme carré adouci Snub square antiprism.png antiprisme carré Square antiprism.png D_{4d}

Notes et références[modifier | modifier le code]