Plongement de Kuratowski

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En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).

Théorème de Kuratowski-Wojdysławski[modifier | modifier le code]

Si (X,d) est un espace métrique, a un point de X et (X) l'espace de Banach des applications bornées de X dans , muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application définie par est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe[1].

Si (X,d) est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant Φ(x)(y) = d(x, y)[2],[3].

On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de (X) constitué des applications bornées continues[4].

Utilisations[modifier | modifier le code]

Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plansetc. — et ils sont complets. Étant donnée une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.

Histoire[modifier | modifier le code]

Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement[5], mais Maurice Fréchet en avait déjà formulé une variante très proche, dans un article[6] où il donna la première définition de la notion d'espace métrique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kuratowski embedding » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) K. Morita et J.-I. Nagata, Topics in General Topology, Elsevier, (ISBN 978-0-08087988-8, lire en ligne), p. 49.
  2. (en) M. Wojdysławski, « Rétractes absolus et hyperespaces des continus », Fund. Math., vol. 32,‎ , p. 184-192 (lire en ligne) (p. 186).
  3. (en) Karol Borsuk, Theory of Retracts, , Theorem III.8.1.
  4. (en) Juha Heinonen, « Geometric embeddings of metric spaces », .
  5. Casimir Kuratowski, « Quelques problèmes concernant les espaces métriques non séparables », Fundam. Math., vol. 25,‎ , p. 534-545 (lire en ligne).
  6. Maurice Fréchet, « Sur quelques points du calcul fonctionnel », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (en), vol. 22,‎ , p. 1-74 (DOI 10.1007/BF03018603).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]