Pendule double

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Le pendule double consiste en un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. C'est un exercice classique de mécanique. On a donc deux tiges de longueur et , de masse nulle et deux masses et . Son évolution est généralement chaotique.

Pendule double.gif

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique vaut :

est l'angle par rapport à la verticale et la vitesse du pendule .
L'énergie potentielle vaut :
( étant l'altitude de la masse ), ou
.
Le lagrangien vaut donc :
, soit

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1)
(2)

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Mise en équation utilisant l'approche newtonienne [1][modifier | modifier le code]

Les équations du mouvement peuvent également être trouvées en utilisant les complexes.

Plongeons le double pendule représenté ci-dessus dans le plan complexe de Gauss, en supposant que l’axe des réels a même sens et même direction que la gravitation. Les points m1 et m2 représentant le mobiles 1 et 2 correspondent aux affixes  z1 et z2. En fait, seuls les angles vont varier en fonction du temps puisque la masse et la longueur sont des constantes. Il faut donc chercher une manière de représenter les fonctions  et .

Dès lors, puisque le module de z1 vaut l1, son argument , . Ensuite, observons que z2 est issu d’une translation de z1 par le complexe z0= , c’est-à-dire un complexe tel que son module vaut l2 et son argument . En d’autres termes, z2=z1+z0. Alors

Ici, les complexes z1 et z2 déterminent la position du mobile 1 et 2 en fonction du temps puisque  et sont des fonctions en fonction du temps. Or il est connu que si on dérive deux fois une fonction position d’un mobile en fonction du temps, son accélération peut être obtenue. Ainsi, l’accélération de z1 vaut

Et que celle de la deuxième est égale à

Notons les respectivement et .

Revenons dans la vie réelle. Quand une masse est suspendue à une corde, une tension se produit le long de celle-ci. Appelons, T1 et T2, les tensions exercées par les masses m1 et m2 et représentons-les sous forme de complexes t1 et t2.

Nous observons alors que t1,  z1 et 0 sont alignés ou colinéaires, ce qui permet d’écrire que . De même, t2,  z0 et 0 sont alignés, ce qui permet d’affirmer que .

La formule dynamique F=ma, connu aussi sous le nom de la 2ème loi de Newton, dit que la somme de toutes les forces appliquées à un mobile est égale au produit de l’accélération que celui-ci obtient par sa masse.

Pour le mobile 2, il s’agit de la tension T2 et la force pois m2g. Dès lors, nous pouvons dire que  

Pour le mobile 1, il s’agit de la tension T1, de la force poids m2g et de la tension T2’ qui est issue du principe d’action-réaction (la 3ème loi de Newton) telle que T2’= - T2. Dès lors, nous pouvons dire que 

Concernant ces deux équations, les membres de gauches sont des complexes alors que les membres de droites sont eux des réels. Ainsi, comme il faut à tout prix conserver l’équation, nous en déduisons que la partie imaginaire de et celle de  valent 0. En d’autres termes, ces deux complexes doivent être des réels. Notre but à présent sera donc de trouver les équations qui expriment la nullité de leurs parties imaginaires.

Tout d’abord, concernant l’équation (1) .

 Calculons, le membre de gauche.

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par .

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous conservons alors uniquement :

Ainsi, nous pouvons affirmer que : 

 

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette première équation différentielle.

 

Ensuite, concernant l’équation (2).  Nous procédons de la même manière. Calculons, le membre de gauche.

 

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par .

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous gardons alors uniquement

Ainsi, nous pouvons affirmer que

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette deuxième différentielle.

Nous avons donc pour finir :

Ce sont les mêmes équations que pour l'approche lagrangienne.

Pendule à entraînement circulaire uniforme[modifier | modifier le code]

Un autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant  :

.

Pour de petites oscillations et , l'équation se linéarise en et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Pendule1.gif

Mais si dans ce cas on choisit , on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

Pendule3.gif
Pendule2.gif


On constate que le pendule fait le tour si

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Kinoshita Yuri, Stevens Léandre, Symeonidou Anastasia, Voiseux Gabrielle, Tout est dans le poignet. Vers un swing chaotique, certes, mais parfait!, TFE Collège Saint-Michel,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]