Pendule double

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Le pendule double consiste en un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. C'est un exercice classique de mécanique. On a donc deux tiges de longueur et , de masse nulle et deux masses et . Son évolution est généralement chaotique.

Pendule double.gif

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique vaut :

est l'angle par rapport à la verticale et la vitesse du pendule .
L'énergie potentielle vaut :
( étant l'altitude de la masse ), ou
.
Le lagrangien vaut donc :
, soit

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :

(1)

(2)

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Mise en équation utilisant l'approche newtonienne[1][modifier | modifier le code]

Les équations du mouvement peuvent également être trouvées en utilisant les complexes.

Représentons le double pendule ci-dessus dans le plan complexe de Gauss, en posant que l’axe des réels a même sens et même direction que la gravitation. Les points m1 et m2 représentant les mobiles 1 et 2 correspondent aux affixes z1 et z2. En fait, seuls les angles vont varier en fonction du temps puisque la masse et la longueur sont des constantes. Il faut donc chercher une manière de représenter les fonctions et .

Dès lors, puisque le module de z1 vaut l1, son argument , . Ensuite, observons que z2 est issu d’une translation de z1 par le complexe z0= , c’est-à-dire un complexe tel que son module vaut l2 et son argument . En d’autres termes, z2 = z1 + z0, donc

Ici, les complexes z1 et z2 déterminent la position des mobiles1 et 2 en fonction du temps puisque et sont des fonctions du temps. L'accélération d'une masse mobile s'obtient en dérivant deux fois par rapport au temps la fonction définissant sa position. Ainsi, l’accélération de z1 vaut

et que celle de la deuxième est égale à

Notons-les respectivement et .

Revenons dans la vie réelle. Quand une masse est suspendue à une corde, une tension se produit le long de celle-ci. Appelons, T1 et T2, les tensions exercées par les masses m1 et m2 et représentons-les sous forme de complexes t1 et t2.

Nous observons alors que t1, z1 et 0 sont alignés ou colinéaires, ce qui permet d’écrire que . De même, t2, z0 et 0 sont alignés, ce qui permet d’affirmer que .

La formule de la dynamique F = m a, connue aussi sous le nom de la 2e loi de Newton, dit que la somme de toutes les forces appliquées à un mobile est égale au produit de l’accélération de celui-ci par sa masse.

Le mobile 2 est soumis à la tension T2 et la force due à la gravité m2 g, donnant les relations suivantes

Le mobile 1 est soumis à la tension T1, à la force due à la gravité m1g et à la tension T2’ qui est issue du principe des actions réciproques (la 3e loi de Newton) telle que T2’= - T2. Dès lors, nous pouvons dire que

Concernant ces deux équations, les membres de gauche sont des complexes alors que les membres de droite sont eux des réels. Ainsi, comme il faut à tout prix conserver l’équation, nous en déduisons que la partie imaginaire de z1 et celle de z2 valent 0. En d’autres termes, ces deux complexes doivent être des réels. Notre but à présent sera donc de trouver les équations qui expriment la nullité de leurs parties imaginaires.

Tout d’abord, concernant l’équation (1).

Calculons, le membre de gauche.

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par .

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous conservons alors uniquement :

Ainsi, nous pouvons affirmer que : 

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette première équation différentielle.

 

Ensuite, concernant l’équation (2). Nous procédons de la même manière. Calculons, le membre de gauche.

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par.

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous gardons alors uniquement

Ainsi, nous pouvons affirmer que

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette deuxième différentielle.

Nous avons donc pour finir :

Ce sont les mêmes équations que pour l'approche lagrangienne.

Pendule à entraînement circulaire uniforme[modifier | modifier le code]

Un autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant  :

.

Pour de petites oscillations et , l'équation se linéarise en et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Pendule1.gif

Mais si, dans ce cas, on choisit , on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

Pendule3.gif
Pendule2.gif


On constate que le pendule fait le tour si

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Kinoshita Yuri, Stevens Léandre, Symeonidou Anastasia et Voiseux Gabrielle, Tout est dans le poignet. Vers un swing chaotique, certes, mais parfait!, TFE Collège Saint-Michel,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]