Pendule double

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Le pendule double consiste en un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. C'est un exercice classique de mécanique. On a donc deux tiges de longueur et , de masse nulle et deux masses et . Son évolution est généralement chaotique.

Pendule double.gif

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique vaut :

est l'angle par rapport à la verticale et la vitesse du pendule .
L'énergie potentielle vaut :
( étant l'altitude de la masse ), ou
.
Le lagrangien vaut donc :
, soit

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1)
(2)

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Mise en équation utilisant l'approche newtonienne[modifier | modifier le code]

L'affixe de l'extrémité du premier pendule est et celle de l'extrémité du deuxième : .
L'accélération de cette dernière vaut donc .

La relation fondamentale de la dynamique en permet de dire que est colinéaire à , et que donc est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.

La relation fondamentale de la dynamique en s'écrit est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur et celle de la deuxième tige agissant sur .

étant colinéaire à , l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de donne l'équation (1).

Pendule à entraînement circulaire uniforme[modifier | modifier le code]

Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant  :

.

Pour de petites oscillations et , l'équation se linéarise en et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Pendule1.gif

Mais si dans ce cas on choisit , on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

Pendule3.gif
Pendule2.gif


On constate que le pendule fait le tour si

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]