Pavage pentagonal

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Les quinze pavages pentagonaux isoédraux possibles.

Un pavage pentagonal est, en géométrie, un pavage du plan euclidien par des pentagones.

Un pavage du plan uniquement avec des pentagones réguliers n'est pas possible, car l'angle interne du pentagone (108°) ne divise pas un tour complet (360°). En revanche, on peut considérer le dodécaèdre régulier comme un pavage de la sphère par des pentagones réguliers.

On connait quinze types de pavages pentagonaux, c'est-à-dire employant un même type de tuile pentagonale convexe. Il n’en existe pas d'autres[1].

Histoire[modifier | modifier le code]

Les cinq premiers pavages pentagonaux ont été découverts par le chercheur allemand Karl Reinhardt en 1918[2]. Richard B. Kershner[3] en a ajouté trois en 1968[2], portant le total à huit, et croit pouvoir affirmer qu'il n’en existe pas d'autres[4]. À la suite d'un article de Martin Gardner dans le Scientific American en 1975, Richard E. James, un informaticien, en découvre un neuvième, et Marjorie Rice, mathématicienne amateur découvre quatre nouveaux types en 1976 et 1977, portant le total à treize. En 1985 Rolf Stein, un doctorant allemand[4] en trouve un quatorzième[2].

Le quinzième a été découvert en août 2015 par une équipe de mathématiciens du campus Bothell de l'université de Washington[5] composée de trois mathématiciens : Casey Mann, Jennifer McLoud et David Von Derau[4]. Il s'agit du premier pavage découvert depuis 1985. L'équipe a utilisé un programme sur ordinateur, et découvre ce 15e pavage pentagonal par une recherche exhaustive. Casey Mann a publié un article sur arxiv (5 octobre 2015)[6] pour résumer ces travaux (« pentagones convexes utilisés pour des pavages i-blocs transitifs »). En 2017, Michaël Rao prouve, aidé de l’ordinateur[7], que cette classification est complète[1].

Les pavages du plan ont fait l'objet de travaux mathématiques à la frontière entre la géométrie euclidienne plane, la théorie des groupes et la topologie.

Variantes de pavage[modifier | modifier le code]

Certaines de ces quinze tuiles pentagonales peuvent être agencées de plusieurs façons différentes pour remplir le plan, par exemple dans le pavage pentagonal irrégulier de Hirschhorn :
Pentagonal tiling with 7-fold rotational symmetry.png
De plus, le problème ne considère que les solutions pour lesquelles c'est toujours la même face des tuiles qui sont placées en l'air. Par exemple, dans la figure suivante, les tuiles marquées d'un point sont retournés par rapport aux autres :
Hirschhorn 6-fold-rotational symmetry pentagonal tiling.svg

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pentagon tiling » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b Rao 2017.
  2. a, b et c Alex Bellos, « Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile », The Guardian,‎ (lire en ligne).
  3. Richard Kershner, « On paving the plane », American Mathematical Monthly, vol. 75,‎ , p. 839–844 (ISSN 0002-9890, DOI 10.2307/2314332, lire en ligne)
  4. a, b et c Étienne Ghys, « L'énigme des pentagones », Le Monde, no 21991,‎ , p. 1 du Cahier science & médecine.
  5. Clémence Lecornué, « La découverte d'une "tuile" historique secoue le monde des mathématiques », sur Huffington Post, , traduit de l'article correspondant en anglais.
  6. (en) Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann et David Von Derau, « Convex pentagons that admit i-block transitive tilings », sur http://arxiv.org, (consulté le 12 octobre 2015)
  7. (en) Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem, sur quantamagazine.org

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • [Grünbaum et Shephard 1987] (en) Branko Grünbaum et G. C. Shephard, Tilings and Patterns, New York, W. H. Freeman and Company, (ISBN 978-0-7167-1193-3, LCCN 86002007), « Tilings by polygons »
  • [Garnder 1988] (en) Martin Gardner, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, New York, W. H. Freeman and Company, , 5e éd., poche (ISBN 978-0-7167-1925-0, LCCN 87011849), « Tiling with Convex Polygons »
  • Jean-Paul Delahaye, « Les pavages pentagonaux : une classification qui s’améliore », Pour la Science, no 432,‎ (présentation en ligne).
  • [Rao 2017] (en) Michaël Rao, « Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane », Prépublication,‎ (lire en ligne)
  • Jean-Paul Delahaye, « Paver le plan avec un pentagone convexe », Pour la science, no 482,‎ , p. 80-85

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]