Partie entière et partie fractionnaire

Représentation graphique de la fonction « partie entière ».

En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel x est l'unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que

$n\leq x<n+1$.

On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : n est le plus grand entier inférieur ou égal à x (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de x, voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède.

La différence entre un nombre x et sa partie entière par défaut est appelée partie fractionnaire.

Notations

La partie entière (par défaut) se note conventionnellement $\lfloor x\rfloor$. La fonction partie entière par défaut se note $\mathrm {E} (x)$

La notation [x] est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut, car la première est ambiguë et peut être confondue avec des parenthèses. (floor, « plancher ») : $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$ et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») : $\lceil x\rceil -1<x\leq \lceil x\rceil .$

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.

Partie fractionnaire (mantisse)

La partie fractionnaire, ou mantisse d'un nombre x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à 1.

On notera que certains considèrent le terme « partie fractionnaire » impropre ; en effet, la mantisse d'un irrationnel n'est pas rationnelle, donc n'est pas fractionnaire.

Propriétés générales

Tout réel x vérifie les propriétés suivantes, où ℤ est l'ensemble des entiers relatifs :

• $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$ ;
• Pour tout $n\in \mathbb {Z}$, on a $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$ ;
• on en déduit :
  • $\lfloor -x\rfloor +\lfloor x\rfloor =\left\{{\begin{array}{rl}0&{\text{si }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{sinon,}}\end{array}}\right.$
  • ${\textstyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1}$ avec y réel.

Pour tout entier $n$ strictement positif :

• $0\leq \lfloor nx\rfloor -n\lfloor x\rfloor \leq n-1$ (car $n\lfloor x\rfloor \leq nx<n\lfloor x\rfloor +n$) ;
• $\left\lfloor {\frac {\lfloor nx\rfloor }{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor$ (car $\lfloor x\rfloor \leq {\frac {\lfloor nx\rfloor }{n}}\leq x$) ;
• on en déduit que si m et n sont des entiers strictement positifs premiers entre eux alors (formule de Sylvester)

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$. la formule ci-dessus peut être généralisée pour tous entiers m et n strictement positifs : $\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\operatorname {pgcd} (m,n)-1}{2}}$.

Fonction partie entière

La fonction partie entière n'est pas continue sur les valeurs entières, mais est continue à droite et semi-continue supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.

Fonction partie fractionnaire

Animation de la décomposition en série de Fourier de la fonction partie fractionnaire avec un nombre croissant d'harmoniques.

Elle est continue à gauche et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 (d'après la remarque immédiate : pour tout entier p, E(x + p) = E(x) + p) et admet une décomposition en série de Fourier sous la forme

$\{x\}={\frac {1}{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi nx)}{n\pi }}$.

aux points x non entiers.

À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de la fonction partie fractionnaire, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés.

Fonction partie entière par excès

Aussi appelée « fonction plafond », elle peut se définir par l'expression :

$\lceil x\rceil =-\mathrm {\lfloor } -x\rfloor$.

Elle est continue à gauche et semi-continue inférieurement.

En outre, pour tout entier relatif n :

$n=\lfloor n/2\rfloor +\lceil n/2\rceil$ ;

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =$$\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1$.

Exemples

x	Partie entière $\lfloor x\rfloor$	par excès $\lceil x\rceil$	Partie fractionnaire {x}
12/5 = 2,4	2	3	2/5 = 0,4
2,9	2	3	0,9
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Autres définitions équivalentes

Dans les formules suivantes, x et y sont des nombres réels, m, n et k sont des entiers relatifs.

Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par les équations suivantes :

$\lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}$ ;

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$.

Puisqu'il existe un seul entier dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, pour tout réel x il existe seulement deux entiers m et n tels que :

$x-1<m\leq x\leq n<x+1$.

Alors on peut aussi définir la partie entière par défaut et par excès par $\lfloor x\rfloor =m$ et $\lceil x\rceil =n$.

D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;\Leftrightarrow &m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;\Leftrightarrow &n-1&<x\leq n.\end{aligned}}$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Floor and ceiling functions » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Fonction entier le plus proche (en)
• Partie entière d'une fraction rationnelle