Parité de zéro

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Zéro objet, divisé en deux groupes égaux.

Zéro est un nombre pair, étant donné qu'il remplit la définition d'un nombre pair : être un multiple de deux. Par conséquent, zéro partage toutes les propriétés qui découlent de cette définition : comme tous les autres nombres pairs, 0 est précédé et suivi par des nombres impairs. Dans l'ensemble des nombres pairs, zéro joue un rôle central : c'est l'élément neutre du groupe des entiers relatifs pairs.

D'un point de vue psychologique, la parité de 0 est moins bien comprise que celle de 2 ou 4. Il a été observé que la plupart des gens mettaient plus de temps à identifier 0 comme un nombre pair que les autres nombres pairs. Les écoliers pensent parfois à tort que la parité de zéro est ambigüe, ou même que zéro est impair[1]. Certaines propositions comme 0 × 2 = 0 peuvent révéler les craintes des élèves à considérer 0 comme un nombre et à l'utiliser en arithmétique. Parler de la parité de zéro en classe peut déclencher de violents débats, les étudiants se confrontant aux principes de base du raisonnement mathématique, comme l'importance de définitions précises.

Pourquoi zéro est-il pair ?[modifier | modifier le code]

Rappelons qu'un nombre entier relatif peut être écrit de manière unique ou bien sous la forme  2k ou bien sous la forme  2k+1, où  k est un entier relatif. Dans le premier cas, le nombre est pair ; dans le second cas, le nombre est impair. Comme  0=2 \times 0 , le nombre  0 est pair.


Explications basiques[modifier | modifier le code]

La boîte avec 0 objets n'a pas d'objet rouge laissé tout seul[2].

Une utilisation basique des nombres est le dénombrement. Étant donné un ensemble d'éléments, on fait appel à un certain nombre pour décrire combien il y a d'éléments dans l'ensemble. Zéro correspond au cardinal d'un ensemble où il n'y aurait pas d'éléments ; plus formellement, c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. L'idée de parité est utilisée lorsqu'on fait des sous-groupes de deux éléments. Si les éléments de l'ensemble peuvent être divisés en groupes de deux, sans qu'aucun élément ne reste tout seul, alors le nombre total d'éléments est pair. Si un élément reste tout seul, le nombre d'éléments est impair[3].

L'ensemble vide contient zéro groupes de deux, aucun objet n'étant laissé tout seul, donc zéro est pair. Bien qu'il soit difficile de s'imaginer zéro groupes de deux, ou de porter attention à l'inexistence d'un élément seul, cette conception de la parité de zéro peut être illustrée en comparant l'ensemble vide avec d'autres ensembles, comme sur le diagramme à droite[3].

La droite des nombres fournit une autre méthode de description des nombres pairs, que ce soit parmi les nombres positifs, négatifs ou zéro. La répartition des nombres pairs et impairs apparaît clairement lorsqu'on distingue ceux-ci visuellement :

EvenOddNumberLine.svg

Les nombres pairs et impairs sont alternés. En partant d'un nombre pair quelconque et en allant ensuite à deux rangs à droite ou à gauche du nombre choisi, on obtient un autre nombre pair ; il n'y a alors aucune raison de sauter le nombre zéro[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Sources citées[modifier | modifier le code]

  • (en) Betty Plunkett Lichtenberg, « Zero is an even number », The Arithmetic Teacher, vol. 19, no 7,‎ , p. 535–538

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Pont aux ânes

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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