Parapluie de Whitney

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Illustration du parapluie de Whitney.
La construction du parapluie de Whitney en tant que surface réglée.

Le parapluie de Whitney est une surface présentant des auto-intersections dans l'espace ambiant de dimension 3. Elle doit son nom au mathématicien américain Hassler Whitney, qui a étudié cet objet au travers de ses travaux sur les singularités d'applications différentiables.

Formules[modifier | modifier le code]

Les équations paramétriques de cette surface sont données en coordonnées cartésiennes par


\begin{align}
x(u,v) & = uv \\
y(u,v) & = u \\
z(u,v) & = v^2
\end{align}

où les paramètres u et v sont des réels. Cette surface est également donnée par la fonction implicite:

x^2=y^2z

Cette formule inclut aussi l'axe des z dans la surface (aussi appelé poignée du parapluie).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'un objet d'étude important en théorie des singularités. Les applications génériques opérant sur des 2-variétés et à valeurs dans R3 ne présentent que deux types de singularités stables : les lignes où se recoupent la surface et le parapluie de Whitney (plus précisément le point inférieur). On doit à Whitney lui-même cette classification.

Le parapluie de Whitney est une surface réglée et même un conoïde droit, de directrice une parabole d'axe parallèle à son axe.

Références[modifier | modifier le code]