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Paradoxe

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Un paradoxe est une proposition apparemment vraie qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit l'intuition commune. Le paradoxe est un puissant stimulant pour la réflexion. Il nous révèle les faiblesses de l'esprit humain et plus précisément son manque de discernement. C'est ainsi que des paradoxes basés sur des concepts simples ont souvent amené à de grands progrès en science ou en philosophie.

Présentation

Étymologiquement, παράδοξος signifie « opposé au sens commun ». À l'origine, un paradoxe est une idée qui va contre le sens commun. Le concept de contradiction, qui est l'usage courant du terme aujourd'hui, n'est apparu que plus tard.

Cinq autres paradoxes liés à la relativité restreinte sont présents dans l'article qui lui est consacré, sous la désignation de petites expériences de pensée.

Les paradoxes sont ici regroupés pour commodité de lecture (travail en cours) en quatre classes principales : logiques, physiques, mathématiques, probabilistes. Il va de soi que cette classification est arbitraire (logique et probabilités font partie des mathématiques, et la physique comme la théorie de la connaissance les utilisent), mais si elle vous permet de retrouver plus vite le paradoxe que vous recherchez, son but est atteint.

Les paradoxes cités sont accompagnés de leur résolution lorsque celle-ci est connue.

« Le bon sens, quoi qu'il fasse, ne peut manquer de se laisser surprendre à l'occasion. Le but de la science est de lui épargner cette surprise et de créer des processus mentaux qui devront être en étroit accord avec le processus du monde extérieur, de façon à éviter, en tout cas, l'imprévu » - (Bertrand Russell).

Paradoxes logiques

Paradoxe d'Achille ou de la flèche

(Voir Zénon d'Élée, paradoxes de Zénon)

« Il est impossible qu'Achille rattrape une tortue devant lui : pendant un court temps t, la tortue avance de x et Achille de X. Puis pendant le temps t/2, La tortue avance de x/2 et Achille de X/2 et ainsi de suite. De même, une flèche tirée d'un arc n'atteindra jamais un arbre ».

Quiconque connait les sommes de suites géométriques saura que cette série converge et qu'il n'y a pas de paradoxe. Juste un moment de rencontre facilement calculable.

Plus précisément, une illusion de paradoxe est créée si l'on opère une confusion entre :

  • un algorithme décrivant par une série infinie d'étapes un processus fini

et

  • un processus lui-même de durée infinie

ce qui n'a pas de rapport direct.

Ce qu'on ne peut fixer, c'est un numéro donné d'itération du processus qui donnera le temps exact, même si ce temps et en ce qui le concerne déterminé avec toute la précision que l'on voudra. Il s'agit d'un exemple classique de confusion de la carte et du territoire (voir Sémantique générale).

Notons au passage que le processus utilisé pour la description est conçu de façon à ne pas permettre la considération d'un quelconque moment postérieur à la rencontre, et présente donc une version du réel amputée par construction (à l'instar, justement, d'une carte).

Paradoxe du menteur

Épiménide le Crétois / Euboulide de Milet

On attribue au philosophe grec Épiménide le Crétois la citation suivante : « Tous les Crétois sont des menteurs ». Or, Épinémide étant Crétois lui-même, si cette affirmation est vraie, alors Épiménide est un menteur, donc son affirmation est fausse : contradiction ! En fait, il n'y a pas vraiment de paradoxe : tout ce qu'on peut déduire de la citation d'Épiménide, c'est qu'elle est fausse ; en particulier tous les Crétois ne sont pas des menteurs, mais Épiménide, lui, en est un... On résout ainsi le paradoxe en l'étalant dans l'espace.

En fait la proposition contraposée de « Tous les Crétois sont des menteurs. » n’est pas : « Tous les Crétois disent la vérité », mais : « Il existe au moins un Crétois qui dit la vérité ». Donc, il peut exister un ou plusieurs menteurs Crétois.

De manière analogue, la phrase paradoxale : « Je mens toujours » cesse de l'être lorsqu'on l'étale dans le temps : au moment où je dis « Je mens toujours », je mens nécessairement (sinon, on a le même problème qu'avec Épiménide), ce qui implique que je ne mens pas toujours. Il n'y a pas de contradiction : il m'arrive de mentir, mais pas toujours !

Le paradoxe du menteur devient plus intéressant lorsqu'on en considère la version suivante : « Je mens en ce moment même ». Si la phrase est vraie, alors c'est qu'elle est fausse. Mais si elle est fausse, alors elle devient vraie !

Cela indique simplement qu'une phrase ne peut se prendre elle-même pour énoncé que lorsque cela conduit à une situation stable, et pas dans les autres cas. (voir pangramme autodescriptif).

Le paradoxe du menteur est très important pour prouver l'incomplétude des axiomes mathématiques.

C'est pour lever ce paradoxe que Russell et Whitehead ont inventé, en métamathématique, la théorie des types logiques qui introduit une hiérarchie de membre à classe et classe de classes, avec pour postulat qu'une classe ne puisse appartenir à elle-même. Ce qui signifie, lorsqu'on transpose cette théorie à la citation d'Épiménide, qu'Épiménide n'a pas le droit de parler de lui-même, ni a fortiori de la classe des Crétois. CQFD.

Paradoxe de l'avocat

Euathlos était un élève pauvre de Protagoras qui lui avait permis de suivre son enseignement à la condition suivante : si Euathlos gagne son premier procès, il doit impérativement rembourser Protagoras, en revanche s'il perd, l'enseignement de Protagoras n'ayant pas porté ses fruits, ce dernier ne doit rien réclamer à son ancien élève.

Finalement, c'est Protagoras lui-même qui assigne Euathlos en procès/ car ce dernier a quitté le droit et fait de la politique ! Ainsi, dit-il : « si je suis vainqueur, il me faut recevoir de l'argent, parce que je suis vainqueur, et si c'est toi, de même il m'en faut recevoir, parce que tu l'es, et d'après notre accord. » Dans les deux cas de figure Protagoras se voyait remboursé de son enseignement... pourtant Euathlos se défendit en disant : « si je perds ce procès, je ne te dois rien, d'après notre accord, et si je le gagne, je ne te dois rien, d'après le jugement. »

En définitive, comment doit-on juger ce conflit ?

Peut-être en constatant que pour juger, il faut d'abord attendre l'issue du procès puisque c'est ce résultat qui détermine qui a tort et qui a raison. Ce qui ouvre deux possibilités :

  1. Il suffit donc d'attendre que le procès soit terminé pour pouvoir le poursuivre ; et en attendant, Euathlos aura sans doute été impliqué dans un autre procès plus significatif...
  2. débouter Protagoras, puisque son procès est sans cause : le résultat du premier procès d'Euathlos n'étant pas encore connu, Protagoras ne peut pas affirmer qu'Euathlos lui doit déjà quelque chose, c'est contraire à l'accord. Pour que le paradoxe disparaisse, le juge doit d'abord donner raison à Euatlos. Ensuite Protagoras pourra intenter un autre procès.

En fait, par le jeu entre deux normes juridiques indépendantes (le droit contractuel et l'accord initial entre les deux parties) le juge se retrouve dans une situation où le résultat qu'il doit prononcer est toujours l'inverse de ce qu'il doit être : pour désigner Protagoras vainqueur, il doit le considérer comme perdant (et réciproquement). C'est un paradoxe autoréférentiel classique, du type du menteur, mais avec une dimension temporelle dont il faut tenir compte (comme dans le paradoxe du voyageur dans le temps qui tue ses géniteurs avant sa naissance).

L'œuf et la poule

C'est l'un des plus anciens paradoxes : « Qu'est-ce qui est apparu en premier : la poule ou l'œuf ? ».

On peut donner deux approches de réponse, qui aboutissent au même résultat :

Approche causale classique

La première série et la plus facile relève de la sémantique : on peut discuter du sens donné au mot « œuf », voire discuter du concept de « poule ».

Si on s'en tient au concept d'œuf le plus général, alors il est clair que l'œuf est apparu quelques milliards d'années avant la poule. Les poissons pondaient des œufs à une époque où n'existait pas encore la moindre poule, et plus tard les dinosaures ont pondus des œufs calcifiés comme ceux d'une poule.

Une variante de la même série fait semblant de lever le paradoxe en demandant quelle définition on adopte pour « œuf » : un œuf pondu par une poule ? ou comme un œuf donnant naissance à une poule ? La poule le précède dans le premier cas (par définition) alors qu'elle le suit dans le second (par définition aussi).

Il n'y a pas davantage de paradoxe si l'on définit l'œuf comme ce qui est à la fois pondu par une poule et donnant naissance à une poule. En fait, le premier œuf de poule, du fait qu'il était le premier, a nécessairement été pondu par un autre animal qu'une poule, sans quoi il ne serait pas le premier œuf de poule, mais au mieux le second. En ce cas, l'œuf suit la poule, mais par simple conséquence d'une définition ad hoc.

Sur le long terme, en faisant intervenir le temps et l'évolution : un jour, les poules se sont distinguées d'une espèce antérieure (on pourrait la nommer proto-poule). On se retrouve alors dans le paradoxe du "barbu" (voir plus loin) : à partir de quel niveau de différence considère-t-on que la poule se distingue de la proto-poule ?

Le fond du paradoxe est l'existence de situations où chaque élément semble à la fois un résultat et une condition de l'ensemble. C'est cette observation qui conduira à la réflexion systémique, portant sur l'articulation entre le tout (le cycle poule-œuf) et les parties (la poule, l'œuf).

En fait, comme souvent, le paradoxe est basé sur une certaine confusion entre deux niveaux (en l'occurrence, des niveaux de génération) : il y a le niveau où l'œuf engendre la poule, qui elle-même engendre l'œuf, etc. Et puis il y a le niveau où un système antérieur (proto-poule et proto-œuf) engendre le système suivant (poule et œuf). Une fois cette distinction faite, il n'y a plus de paradoxe.

Une bonne réponse possible est que le couple œuf-poule (une sorte d'attracteur) est apparu quasi-simultanément, engendré par un système antérieur qui n'en était pas très éloigné. Elle est conforme à nos connaissances actuelles en la matière.

D'autre part, dans la logique circulaire des récursions de l'approche écosystémique, il s'agit aussi d'une question de "ponctuation" d'un découpage en intervalle privilégiée d'une séquence continue où la poule conduit à l'œuf est aussi exact que l'œuf à la poule. La plus ignoble des querelles est celle d'une différence de ponctuation où chacun est persuadé de sa propre bonne foi et de la sale mauvaise foi de l'autre. Ceci se rapporte aussi aux thérapies systémiques familiales des paradoxes et double contrainte.

Paradoxe du barbu ou du tas de sable

On peut enlever un poil de barbe à un barbu, il restera barbu ; cependant, après un certain nombre de poils enlevés il ne le sera plus. À partir de combien de poils changera-t-il de statut ?
De même en enlevant un grain de sable à un tas de sable, le tas reste un tas de sable ; après une grande quantité de grains enlevés, le tas devient un tout petit tas, voire plus du tout un tas. À partir de quel pourcentage de grains enlevés le tas devient-il autre chose ?

Il n'y a en fait pas de réel paradoxe, juste la mise en évidence d'un flou dans les définitions. Seule une définition opérationnelle, c'est-à-dire celle d'un processus qui, appliqué à une personne, permettra de décider si cette personne est à considérer comme barbue ou pas (et la définition dépendra de la raison exacte pour laquelle on souhaite distinguer les barbus des non-barbus - est-ce pour savoir qui aura besoin de lames de rasoir, ou pour des questions d'hygiène, etc.) permet de lever l'indétermination.

Variantes : À partir de quel âge est-on vieux ?, Combien faut-il de cailloux pour faire un tas ?, etc. Le paradoxe n'existait que dans une vision essentialiste du monde, où l'on supposait que les catégories de la raison préexistaient à l'exercice de celle-ci (vision de Platon opposée à celle d'Aristote).

Paradoxe du syllogisme en Camestres

Saccheri a proposé le syllogisme en Camestres (AEE de la première figure) suivant, construit à partir des règles de constructions des syllogismes (on sous-entend que le syllogisme est de la première figure) :

  • Tout syllogisme ayant une majeure universelle et une mineure affirmative est conclusif
  • Nul syllogisme en AEE n’a une majeure universelle et une mineure affirmative
  • Donc nul syllogisme en AEE n’est conclusif

Or précisément ce syllogisme est en AEE.

Paradoxe en barbara

Ce paradoxe tire son nom des syllogismes dits en barbara (A-A-A = deux prémisses et conclusion universelles et affirmatives) :

  • Toutes les choses rares sont chères
  • or tous les appartements à 1 € le m² sont rares
  • donc tous les appartements à 1 € le m² sont chers. Bizarre ...

Autre paradoxe du même genre, mentionné dans des almanachs d'avant-guerre et reproposé par Tom Novembre :

  • Un cheval bon-marché est rare.
  • or ce qui est rare est cher
  • donc un cheval bon-marché est cher.

Autre exemple, plus populaire mais tout aussi intéressant :

  • Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous
  • or plus il y a de trous, moins il y a de gruyère
  • donc plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère ...

Il est par ailleurs intéressant de noter que cet exemple est erroné, car le gruyère n'a pas de trous (à la différence de l'emmental).

Voir théorie des types. (voir aussi page de discussion).

Paradoxe hétérologique de Grelling

Est nommé hétérologique un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple : « long » est un mot hétérologique en ceci qu'il n'est pas « long ».

Ainsi selon cette définition, le mot « hétérologique » est hétérologique si et seulement s’il ne l'est pas.

Même explication que le paradoxe d'Epiménide. Toute classification binaire par un discriminateur donné crée automatiquement quatre classes dont quelques-unes peuvent être vides :

  • le discriminateur répond positivement ("court" est autologique)
  • le discriminateur répond négativement ("long" n'est pas autologique)
  • le discriminateur ne peut répondre parce qu'on est en dehors de son domaine de définition (un substantif ou un verbe ne sera ni autologique, ni hétérologique)
  • le discriminateur ne peut répondre pour certains opérandes, pour des raisons cette fois-ci sémantiques et non syntaxiques. Ceux-ci sont donc à exclure de son domaine de définition (comme le 0 en dénominateur pour l'opération de division).

Paradoxe de Berry

Les entiers peuvent être décrits par des énoncés (en français) tels que : «dix puissance cent» ou «le plus grand nombre premier connu au vingtième siècle». Comme le vocabulaire disponible est fini (mettons qu'il y ait 200 000 mots en français), les énoncés de N mots ne peuvent décrire plus de entiers (et en fait beaucoup moins, la plupart des « phrases » ne voulant en fait rien dire, ou ne parlant pas d'entiers). Ce nombre étant fini, il y a donc des entiers non descriptibles (en français) par des énoncés de moins de N mots, et par exemple, il existe un entier qui est «le plus petit entier non descriptible en français par une expression de seize mots ou moins ». Mais cet énoncé, qui le décrit parfaitement, ne comporte que seize mots...

En fait, c'est encore une variante du paradoxe du menteur, qui se résout de même.

Accessoirement, notons que contrairement à l'assertion initiale, le vocabulaire disponible est infini : il est possible soit de créer de nouveaux mots, autant que nécessaire (par exemple « vleu », Cf. autre paradoxe ), soit de modifier le sens de mots déjà en usage (exemples familiers : « souris » ou « puce »). Ceci ne change rien au paradoxe, qui est implicitement basé sur une version du français « figée ».


Ceci ne résout pas le paradoxe, dans la mesure où ce n'est pas un tel procédé qui est à l'œuvre

Paradoxe du voyage dans le temps... au cas où le voyage dans le temps pourrait exister !

Ce paradoxe n'est pas très éloigné dans son énoncé du paradoxe de l'œuf et de la poule, mais donne naissance à des spéculations nettement plus complexes sur la multiplicité éventuelle des univers. Pour le moment (2005), ces idées ont davantage servi la littérature de science-fiction que la physique, mais on pourra cependant se reporter à l'expérience de Marlan Scully.

Son premier énoncé semble remonter à 1943, dans le roman Le voyageur imprudent, de René Barjavel.

Paradoxes mathématiques

Notons au préalable que ce que l'on appelle paradoxes mathématiques n'en sont plus aujourd'hui (sauf les nouveaux, bien sûr). En effet, les paradoxes anciens étaient tous basés sur un manque d'hypothèses, ou plutôt devrait-on-dire, sur un manque de références globales. On ne travaille aujourd'hui en mathématiques qu'en prenant bien soin de définir de quels éléments nous parlons, et notamment de l'espace de référence (pour les connaisseurs, une relation peut être paradoxale à la base car est appliquée dans un espace quelconque. Elle n'est plus paradoxale dès que vous vous ramenez à un espace de référence, comme un Banach.)

Paradoxe de Galilée ou de Georg Cantor

Il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9, etc.) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.

En fait, le « nombre » d'entiers aussi bien que de carrés est le premier cardinal transfini, ‪. Les lois de composition des transfinis ne sont pas celles des nombres finis qui les composent. au carré est égal à .

Il s'agit d'un paradoxe pour la plupart des personnes qui ne sont pas habituées à travailler avec les probabilités. On le doit à Richard Von Mises en 1939. En considérant qu'une année compte 365 jours, combien de personnes faut-il pour que deux d'entre elles aient leur anniversaire le même jour avec une probabilité de 50% (en partant du principe que les naissances sont uniformément réparties dans l'année) ? La plupart des gens répondront qu'il faut la moitié de 365 soit 183 personnes. La véritable réponse est en fait de l'ordre de la racine de 365 (multipliée par un facteur qui varie selon le taux de réussite désiré et qui est de 1.177 pour 50%), soit à peu près 23 personnes. Cette tendance à donner un échantillon plus grand que nécessaire vient d'une interprétation erronée de la question. Celle-ci ne porte pas sur une date précise (la probabilité est dans ce cas beaucoup plus faible et il faut effectivement un échantillon plus grand) mais deux personnes au hasard avec un jour de naissance quelconque.

Mathématiquement, le paradoxe s'explique de la manière suivante en faisant la démarche inverse, c'est à dire en regardant les chances de ne pas avoir deux personnes avec le même anniversaire. La deuxième personne doit avoir une date de naissance différente de la première, soit 364/365. Ensuite, la troisième personne doit avoir une date différente de la première et de la deuxième ce qui lui laisse un choix de 363 dates parmi 365, soit 363/365. En continuant ainsi et en multipliant les probabilités ensemble, nous obtenons n est le nombre de personnes.

Pour trouver la probabilité d'obtenir une collision, il suffit de calculer .

Ce paradoxe a une application en cryptographie dans la recherche de collisions dans les fonctions de hachage.

Paradoxes sur les nombres complexes

Les mathématiciens du XVIIIe siècle ont essayé d’appliquer les règles de calcul sur les nombres réels aux nombres complexes, par exemple :

  • mais et donc
  • ln(-1)+ln(-1)=ln((-1)2)=ln(1)=0 donc de même ln(i)=0 donc en en prenant l’exponentielle, eln(i)=e0 soit i=1 puisque exp∘ln=Id.

Ces deux paradoxes tiennent au manque de précision dans la définition des nombres complexes et à la perte de propriétés de certaines opérations lors du passage aux nombres complexes.

De plus la racine carrée n’existe pas dans ℂ puisqu’il existe deux racines carrées de tout nombre complexe. De même le logarithme d’un nombre complexe est défini à 2iπ près. Voir plus loin le paradoxe de « i ».

  • on peut utiliser ce paradoxe en demandant de calculer ii
- ii=(eiπ/2)i = (e(iπ/2)i) = e-π/2 < e
- ii=(e-i3π/2)i = (e(-i3π/2)i) = e3π/2 > e
donc e>e .

Paradoxe de Bertrand

Le paradoxe mis au jour par Joseph Bertrand (1822-1900), de l'Académie française, révèle les limites du recours à l'intuition en probabilités. Ce mathématicien propose de tracer au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit. Le paradoxe est que la réponse dépend du protocole de choix de la corde. Chacune des réponses « une chance sur deux », « une chance sur trois » ou « une chance sur quatre » peut être justifiée.

Il en serait de même pour « la probabilité qu'un entier pris au hasard soit impair », que l'on peut varier à volonté sur l'intervalle ouvert ]0,1[ selon la façon dont on effectue le tirage. Quant à « la probabilité qu'un réel tiré au hasard soit entier », elle est nulle, réellement nulle, ce qui n'empêche nullement les nombres entiers d'avoir une existence.

Paradoxe de Bertrand Russell

L'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, est membre de lui-même si et seulement s'il ne l'est pas. Ce paradoxe a été trouvé dans l'axiomatique de Gottlob Frege par Bertrand Russell.

Voir : Paradoxe du barbier et Paradoxe de Russell

Paradoxe de Burali-Forti

L'ensemble de tous les ordinaux ne possède pas lui-même d'ordinal du fait que cet ordinal doit être nécessairement plus grand que ou au moins de taille égale à (pour un cardinal ℵ0) chacun des membres de cet ensemble qui, par là même et en dépit de sa définition, ne contient pas cet ordinal.

Paradoxe de Richard

M.J Richard, publie dans la Revue génerale des Sciences Pures et Appliquées dans le numéro du 30 juin 1905, la fameuse antinomie sur la théorie générale des ensembles de Cantor (ce qu'on appelle aujourd'hui théorie naïve des ensembles), particulièrement à propos de l'argument diagonal de Cantor. un esquisse en trois parties aidera à comprendre ce paradoxe:

  1. Les nombres réels définissables avec un nombre fini de mots forment un ensemble fini : E.
  2. Par le procédé de diagonalisation similaire à celui de Cantor, mais sur un carré fini, on peut construire un réel N qui n'est pas dans E
  3. Cependant en décrivant ce procédé de construction (1+2 ci dessus) on a défini N en un nombre fini de mots: C'est une contradiction.

M.J Richard était professeur au lycée de Dijon, Ce paradoxe est très important pour la Logique du XXème siècle et il a influencé le programme de Hilbert, la théorie de Calculabilité etc.

Paradoxe de Skolem

Le théorème de Löwenheim-Skolem dit que tout système d'axiomes, s'il a un modèle, a un modèle dénombrable. Si on l'applique à la théorie des ensembles ZFC, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais on peut prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles indénombrables. Autrement dit ZFC affirme qu'il existe plus d'ensembles qu'elle n'en peut définir. Tel est le paradoxe de Skolem. (voir aussi : théorème de complétude de Gödel)

Dans l'espace de dimension 3, il est possible de découper une boule en un nombre fini de parties, de sorte qu'en déplaçant ces parties on recompose deux boules de même taille que la première boule. Le découpage n'est bien sûr pas trivial.

Paradoxe de « i » ou des deux racines carrées

« Les nombres complexes sont définis par rapport à une valeur nommée i et dont le carré est défini comme -1. Mais il existe nécessairement deux telles valeurs, car si x a pour carré X, -x a le même. Comment savoir de laquelle des deux valeurs nous parlons ? »

La levée de ce paradoxe est une très belle illustration du principe de symétrie : elle consiste à remarquer tout simplement que lorsque nous avons dit que le carré de i est -1, nous avons déjà dit tout ce qu'il y a à dire sur i. Assurément, le carré de -i sera également -1, mais cela ne fait que nous indiquer que toute relation vraie où apparaît le nombre i le reste si on le remplace par -i : on ne peut en effet effectuer de distinction fonctionnelle entre -i et i. Ils n'ont de différence qu'en opposition l'un à l'autre (voir Le cru et le cuit).

Il est laissé à l'initiative du lecteur de vérifier que e-iπ = -1.

Paradoxes liés à la théorie de la connaissance

Paradoxe de Goodman, dit de l'émeraude « vleue »

Ce paradoxe est énoncé par Nelson Goodman en 1946, étudié par Watanabe dans son livre Knowing and guessing. Soit « vleu » l'adjectif signifiant « vert jusqu'au 31 décembre 2100 et bleu ensuite ». L'observation ne me permet en rien de distinguer un objet vleu d'un objet vert avant cette date. La logique inductive ne permet donc en rien de dire quelque chose de tangible sur le monde.

La levée de ce faux paradoxe est des plus simples : la probabilité qu'on attribuera à un objet d'être vleu sera nécessairement liée :

  • soit à l'observation préalable d'autres objets vleus (ce qui est impossible, par construction même du mot, jusqu'à la date indiquée)
  • soit à une estimation fondée sur l'observation de ce phénomène de changer brusquement de couleur à une date calendaire précise.

C'est donc nécessairement cette seconde estimation qui sera utilisée, associant par conséquent une très faible probabilité à l'émeraude d'être vleue.

Pour enfantin qu'il paraisse, ce paradoxe a été très utile pour aider à fixer les mécanismes sous-jacents à la logique inductive, et en particulier sur l'importance, au début sous-estimée, de la notion de contexte.

Paradoxe de la vie sur Ganymède

Si l'on prend au pied de la lettre une définition ancienne de la probabilité comme rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, on arrive à des résultats curieux.

Ainsi y a-t-il des hommes sur le satellite (de Jupiter) Ganymède ? Si nous prenons la définition de la probabilité sans précaution, nous pourrions être tentés de supposer qu'il y a une chance sur deux !

En ce cas, la probabilité qu'il n'y ait autour de Ganymède ni hommes, ni chats, ni chiens, ni poules, ni cafards, ni vers de terre, ni poissons, ni oiseaux peut être rendue aussi proche de 0 qu'on le veut (1/2)N, N étant le nombre d'espèces considérées.

Il va de soi qu'on ne peut pas prendre le problème de cette façon. Nombre de formules se targuant de démontrer qu'il existe quasi-certainement de la vie ailleurs que sur Terre ont cependant ce type d'approche. Voir aussi Paradoxe de Fermi.

Paradoxes physiques

Paradoxe d'Olbers dit « du ciel de feu »

Si on suppose que l'univers est infini, et uniformément peuplé d'étoiles, on montre facilement qu'une demi-droite partant de l'observateur dans une direction quelconque finit toujours par en rencontrer une. Le ciel nocturne devrait donc être aussi brillant que la surface des étoiles. Or, ce n'est manifestement pas le cas.

Ce paradoxe est assez facilement levé, la plupart de ses hypothéses étant contestables : univers infini ? peuplé uniformément? Cf. l'article ad hoc Paradoxe d'Olbers.

Paradoxes liés à la relativité

Le paradoxe de Langevin où des horloges atomiques voyageant à des vitesses différentes donnent des temps différents remet simplement en question la physique newtonienne du temps abosolu partout le même. Le paradoxe ne l'est que par rapport à Newton. Toute science progresse par résolution de paradoxe, comme celui de l'héliocentrisme qui ne l'est que par rapport à nos yeux qui voient le soleil se lever et se coucher.

Le paradoxe est un certain rapport entre deux "systèmes" réputés incompatibles. Voir la Théorie des contextes d'une critique épistémologique des symétries imaginaires et des oppositions inappropriées, des contrastes dévoyées en contraires et perverties en oppositions.

Paradoxe EPR

Le paradoxe EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) démontre que les hypothèses

  1. l'impossibilité pour un signal de dépasser la vitesse c (causalité relativiste) ;
  2. la mécanique quantique est complète et décrit entièrement la réalité (pas de variables cachées);
  3. les deux particules éloignées forment des eléments indépendants de la réalité (localité)

mênent à une contradiction. C'est l'hypothèse de localité qui en fit les frais.

Voir Paradoxe EPR, inégalités de Bell.

Paradoxe du chat de Schrödinger

En mécanique quantique, l'état d'un système est indéterminé tant qu'on a pas procédé à la mesure : il n'y a pas de « variables cachées », même l'atome ne « sait » pas quel est son état avant la mesure. Le paradoxe, c'est qu'au niveau macroscopique ceci n'est pas vrai : un chat enfermé dans une boîte est bien mort ou vivant indépendamment de l'observation d'un expérimentateur, même si cette mort est dépendante d'un phénomène quantique (dans l'expérience de pensée : la désintégration d'un atome qui provoquerait la libération d'un poison).

Voir Chat de Schrödinger

Paradoxe « quelle est la cause du Big Bang ? »

Interprétation orthodoxe (RG pure)

Le Big Bang représentant dans le modèle standard (G et 1/c non nuls, h négligé) l'origine absolue du temps dans notre univers, la question de se demander dans ce modèle ce qu'il y avait avant n'y a pas plus de sens que demander quels sont les points de la surface terrestre plus au Nord que le pôle Nord. Si le Big Bang a existé, tout ce que l'on peut dire est qu'il pouvait exister, et il n'y a pas lieu de se demander quel événement en a été chronologiquement la cause puisque, toujours dans le cadre du modèle standard, le temps a commencé avec lui. On ne peut parler de cause qui serait antérieure; tout au plus des raisons (logiques et non causales) pour lesquelles il n'était pas autocontradictoire.

Interprétations envisagées dans le cadre RG+MQ

Dans les cas des théories autres que le modèle standard (voir Gabriele Veneziano) on peut bien entendu se poser à nouveau la question; sauf que si un temps préexiste, alors il ne s'agit plus d'un Big Bang au sens classique du terme.

C'est en particulier le cas si l'on prend en compte la valeur de h, qui n'est pas nulle et ne peut certainement pas être négligée compte tenu des faibles distances envisagées. Il n'y a en ce cas pas de « singularité » possible par construction, et le supposé « Big bang » ne serait qu'une sorte de goulot d'étranglement; à ce jour (2005) ces autres modèles sont en cours d'étude, nombreux et bien entendu spéculatifs.

Voir Big bang

Paradoxes probabilistes

Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre

Si je dis « Tous les corbeaux sont blancs », cette phrase est logiquement équivalente à « Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux ». Pour renforcer par un processus d'induction ma conviction que « Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux », je peux fort bien rester dans ma chambre, y trouver dix mille objets non blancs, et vérifier que ce sont bien tous des non-corbeaux. Une loi qui se vérifie sur dix mille observations sans la moindre exception est certainement valide, n'est-ce pas ?

Réponse : non. Tout ce qui a été établi, c'est que tous les objets non-blancs contenus dans ma chambre sont des non-corbeaux. En logique inductive, il faut toujours préciser le contexte d'une observation (voir inférence bayésienne et probabilité conditionnelle).

Paradoxe des camions prospecteurs

Ce paradoxe (d'apparence seulement) est traité dans l'article Probabilité#Probabilité en mathématiques dans la sous-section Idée erronée qu'une probabilité est nécessairement objective.

Les deux chèques

Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. Le candidat choisit une des enveloppes.

Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe.

Soit la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie en premier. Il y a deux cas possibles :

  • une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur );
  • une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur ).

L'espérance de gain si on change d'enveloppe paraît donc être , soit , qui est supérieur à . Il faudrait donc à tout coup changer d'enveloppe.

Or un tel choix parait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom. On s'attendrait à ce que les enveloppes gardent une espérance de gain égale après ces manipulations indépendantes de leur contenu.

D'ailleurs, si on répètait la manœuvre (rechanger l'enveloppe pour reprendre la même) , le calcul s'applique encore et on serait censé avoir , alors qu'on a retrouvé l'enveloppe initiale !

Tout le paradoxe est basé sur une présentation trompeuse : d'abord elle occulte le fait que la valeur de N est différente selon l'enveloppe qu'on a déjà en main ; ensuite, le calcul ne tient pas compte de la perte engendrée par l'abandon de l'enveloppe initiale.

Or, il est normal que l'espérance de gain rapportée à la valeur initiale, donc en pourcentage, soit différente selon l'enveloppe qu'on a en main ! Dans un cas, on gagne 100%, dans le second, on perd 50%, pour faire correctement la moyenne il ne faut pas faire, comme proposé : mais pondérer par les valeurs initiales :

On retrouve le fait qu'après une hausse de 100%, il suffit d'une baisse de 50% pour retrouver le montant initial.

Une autre présentation du raisonnement correct est la suivante

  • une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur ) : le changement fait perdre N et gagner 2N, gain total : N;
  • une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur ), : le changement fait gagner N/2 et perdre N, gain total : -N/2 (négatif, c'est une perte), mais où N vaut le double du cas précédent.

L'espérance de gain par changement d'enveloppe est donc . On ne gagne rien .

Voir aussi : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Toutefois, il faut signaler que le problème est très différent dans le cas de trois enveloppes (contenant respectivement 0, N ou 2N, N étant inconnu), lorsqu'on ouvre une des deux enveloppes initialement délaissées avant de proposer de changer. À vous de calculer, selon que le résultat de l'ouverture dévoile zéro ou une somme non nulle ! Ce problème est une variante du paradoxe des trois prisonnier (Cf. infra).

Paradoxe des trois pièces de monnaie

On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit pile ou face ? Une sur quatre. Soit.

Mais que répondre à quelqu'un qui vous dit : « Si je lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté; la troisième y sera avec une chance sur deux. J'ai donc une chance sur deux que toutes trois tombent du même côté ». Sans doute jouer avec lui (avec mises) sur les bases de son estimation de probabilité jusqu'à ce qu'il la révise...

Ce paradoxe est un peu plus facilement admis par le grand public que celui des deux enfants. C'est pourtant, in fine, le même.

Paradoxe des deux enfants

Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?

Le bon sens tendrait à répondre 50%, à tort. En effet, quatre combinaisons de probabilité égale sont possibles :

  1. Fille Fille
  2. Garçon Garçon
  3. Fille Garçon
  4. Garçon Fille

Le fait qu'on sache qu'il y a au moins un garçon élimine la première possibilité, et la probabilité d'avoir deux garçons sachant que l'un des deux enfants est un garçon n'est que de 1/3.


Pour résoudre ce problème, on peut aussi faire appel aux probabilités conditionnelles.

Soit A l'évènement : les deux enfants sont des garçons

Soit B l'évènement : l'un des deux est un garçon

Formellement, on a l'égalité suivante : P(A/B) x P(B) = P(B/A) x P(A)

La probabilité de A sachant B multipliée par celle de B est égale à la probabilité de B sachant A multipliée par celle de A.

Donc P(A/B)=P(B/A) x P(A) / P(B)

Or P(B/A) = 1 car si les deux sont des garçons, alors l'un des deux est un garçon (toujours vrai)

P(A) = 1/4 (idem démo ci-dessus)

P(B) = 3/4 (idem démo ci-dessus)

Ainsi P(A/B) = 1/3

La probabilité que les deux soient des garçons sachant que l'un des deux en est un est de 1/3.

  • À noter que si on précise que le garçon est l'aîné (ou le cadet), on élimine aussi la troisième (respectivement la quatrième) possibilité, et on retrouve la probabilité de 50%.
  • Plus généralement et plus étonnant, si on apporte un élément supplémentaire sur ce garçon et ayant une probabilité p de se produire, la probabilité que le second enfant soit un garçon est de : .
Par exemple, si on précise que ce garçon est roux et qu'il y a 1 roux sur 500 garçons par exemple, alors la probabilité que le second enfant soit un garçon est de 49,97% environ, ce qui est très proche de 1/2 comme dans le second cas. Au contraire, avec aucun élément supplémentaire (p = 1) comme dans le premier cas, on retrouve bien la probabilité de (2-1) / (4-1) = 1/3.


Le paradoxe des prisonniers

Trois prisonniers sont dans une cellule. Ils savent que deux vont être condamnés à mort et un gracié, mais ils ne savent pas qui. L'un d'entre eux va voir le gardien et lui demande : « Je sais bien que tu ne peux rien me dire, mais tu peux au moins me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ». Le gardien réfléchit, se dit que de toutes manières au moins l'un des deux autres prisonniers sera condamné, et s'exécute. Le prisonnier lui répond alors : « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. »

Le prisonnier se trompe, il n'a qu'une chance sur trois d'être gracié, mais le raisonnement est délicat. Si A est le prisonnier curieux, et B et C les deux autres, alors les trois combinaisons possibles sont a priori équiprobables :

A désigné B désigné C désigné
A gracié, B et C condamnés (1/3) 0 1/2 (x 1/3) 1/2 (x 1/3)
B gracié, A et C condamnés (1/3) 0 0 1 (x 1/3)
C gracié, A et B condamnés (1/3) 0 1 (x1/3) 0
total 0 1/2 1/2

Si B est désigné, il y a 2 chances sur 3 pour se situer dans le cas n°3, (C gracié), et seulement 33% de chances d'être dans la situation n° 1 (A gracié). Évidemment, la situation est symétrique si C a été désigné. Le prisonnier n'a donc toujours qu'une chance sur 3 d'être gracié, par contre, l'information bénéficie au prisonnier non désigné, qui voit sa chance d'être gracié monter à 2/3.

« Paradoxe » de Benford

Signalé par Frank Benford en 1939 : Pourquoi les pages des vieilles tables de logarithmes sont-elles d'autant plus usées qu'elles se trouvent proches du début ? (voir Loi de Benford)

« 

En étudiant des tables de valeurs numériques d'origines très diverses (BTP, résistance des matériaux, chimie, mécanique des fluides, astronomie...), on retrouve en fait une distribution remarquablement régulière du premier chiffre (non-nul) des valeurs qui y sont contenues :

  • le 1 apparaît avec une fréquence de 30%
  • le 2 apparaît avec une fréquence de 18%
  • le 9 apparaît avec une fréquence de 5%

et, de façon plus générale, chaque chiffre N apparaît en première position avec la probabilité :

p(N) = log10 (1+1/N)

Cela est dû au fait qu'une distribution générale, si elle existe, doit rester invariante par un changement d'unités (par exemple que les tables sont exprimées en pouces ou en centimètres, en °F, °C ou kelvins, etc. La seule distribution restant invariante dans une multiplication de tous ses termes par une constante est celle qui précède.

Vous observerez très probablement la même distribution dans les numéros de rues présents dans votre carnet d'adresses (mais non ceux de téléphone, où le plan de numérotation des opérateurs téléphoniques joue le rôle d'anti-hasard).

 »

Paradoxe de Fermi

Selon le paradoxe de Fermi : Si les extraterrestres existent, compte tenu de la durée de vie très longue de l'Univers et de la galaxie, pourquoi ne sommes nous pas déjà en contact ?

Autres paradoxes

Dieu et le rocher lourd

« Si Dieu est tout-puissant, peut-il créer un rocher si lourd qu'il n'arriverait pas à le soulever ? S'il ne peut pas le créer, il n'est pas tout-puissant, et s'il le crée tel que spécifié et ne peut pas le soulever ensuite, il n'est pas tout-puissant non plus ».

Cette question a enflammé les esprits au Moyen-Âge avec quelques autres qui en sont dérivées.

Selon Thomas d'Aquin, Dieu occupe en totalité l'espace de possibilités conforme à sa nature, qui est de cohérence. L'exemple précédent ne signifierait pas que Dieu n'existe pas, mais simplement que l'autocontradiction appartient à ce qui n'est pas lui et qu'il en est par nature exempt. Remarquons en outre que le paradoxe proposé présuppose que Dieu a une nature temporelle, or dans la plupart des religions monothéistes, il est au contraire atemporel (omniprésent dans le temps).

Paradoxe d'Eliezer

Eliezer est l'homme de confiance d'Abraham. La valeur numérique de son nom en hébreu est de 318.

Dans un épisode de la bible, Loth est prisonnier. Abraham le libère accompagné de ses 318 hommes ce qui fait dire aux rabbins qu'Abraham n'était accompagné que d'Eliezer.

Ce qui est paradoxal est une proposition inverse à la logique. Comment combattre une armée et liberer un prisonnier avec un seul homme? Ce récit est donc un paradoxe métaphysique car comme on ne peut nier la vérité des écritures ni le résultat des études de celles-ci par les rabbins, il y a un conflit de compréhension. Cette valeur 318 est-elle pluralité ou non?

Paradoxe du club de Groucho

Groucho Marx déclare :

Jamais je n'accepterais de faire partie d'un club qui m'accepterait comme membre. La citation exacte est "des gens comme moi" ("people like me" dans le texte). Voir "Tje joy of yiddish" de Leo Rosten.

C'est simplement une blague juive d'autodérision où le Juif Marx ne veut pas fréquenter les autres Juifs.

D'un point de vue logique, il n'y a pas de paradoxe : cette affirmation revient seulement à dire que Groucho refuse de faire partie d'un club.

Par contre, cette affirmation indique implicitement que Groucho souhaite faire partie des clubs qui le refuseraient, souhait paradoxal mais ô combien répandu.

Paradoxe de la cravate

Histoire « juive » :

La mère offre deux cravates à son fils. Pour lui faire plaisir, il met l'une d'elles pour lui rendre visite. Ce qui lui attire la remarque suivante :

Pourquoi n'as tu pas mis la cravate (l'autre) que je t'ai offerte ?

Le paradoxe, c'est que le fils est devant deux solutions (deux cravates) qui toutes deux le conduisent à la faute.

Paul Warzlawick se plait à raconter cette histoire pour illustrer les paradoxes et double contrainte d'une paire d'injonctions paradoxales assortie d'une troisième implicite ou explicite nommée par Yves Barel de "injonction-cliquet" qui interdit tout refus d'obéissance à des choix impossible et tout commentaire sur cette absurdité. En dehors d'une relation d'autorité ou de domination réelle ou intériorisée par apprentissage social, il n'y aurait pas de double contraine, mais seulement une aimable plaisanterie.

Une mère rend visite à son enfant et lui offre deux cravates, une bleue et une rouge. À la visite suivante, l'enfant se présente avec la cravate rouge.

La mère lui dit: "tu n'aimes pas la cravate bleue"? À la visite suivante, l'enfant se présente avec la cravate bleue.

À la visite suivante encore, l'enfant se présente avec les deux cravates bleue et rouge au col et sa mère lui dit:

"Ce n'est pas étonnant que tu sois placé en pédopsychiatrie"!

Paradoxe du paradoxe

"Tout est paradoxe, rien n'est paradoxal" (Johanne Noirbenne) Modèle:Lien AdQ

Références

  • Joseph Vidal-Rosset, Paradoxes, Paris: Vrin, 2004