p-groupe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p^[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

Propriétés

Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
Réciproquement, si H est un p-sous-groupe distingué d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre).
Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Soit G un p-groupe fini d'ordre pⁿ. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre p^r.

Démonstrations

Tout sous-groupe et quotient d'un p-groupe est un p-groupe.

En effet, un élément d'un sous-groupe H d'un groupe G a le même ordre dans G et dans H, et l'ordre de l'image d'un élément x d'ordre fini par un homomorphisme (ici le morphisme canonique d'un groupe sur un quotient de ce groupe) divise l'ordre de x.

Si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.

Soient x un élément de G, q l'ordre de sa classe dans G/H, et r l'ordre de l'élément x^q (qui appartient à H), alors qr est une puissance de p et x^qr = 1.

Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.

Soit G un groupe fini, d'ordre n. Supposons tout d'abord que n est une puissance de p. Par application du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément de G divise l'ordre n de G et est donc une puissance de p, si bien que G est un p-groupe. Réciproquement, supposons que l'ordre de tout élément de G est une puissance de p et prouvons que l'ordre n de G est une puissance de p. Pour tout diviseur premier q de n, d'après le théorème de Cauchy, G admet un élément d'ordre q, si bien que q est une puissance de p donc q = p. Ainsi, le seul éventuel diviseur premier de n est p, donc n est une puissance de p.

Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors cet indice est une puissance de p.

Si H est d'indice fini alors son cœur H_G (i.e. l'intersection de ses conjugués) aussi, donc G/H_G est un p-groupe fini. Son ordre [G:H_G] est alors une puissance de p, si bien que [G:H] (qui le divise) aussi.

Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.

Soit G un p-groupe fini non trivial. Son ordre est donc une puissance non nulle de p. L'étude de l'action par conjugaison de G sur lui-même fournit l'équation aux classes. Elle permet d'exprimer le cardinal du centre Z(G) sous la forme :

Card(Z(G))=Card(G)-\sum _{i}{\frac {Card(G)}{Card(Z_{i})}},

où les Z_i sont des sous-groupes de G distincts de G, donc la somme indexée par i est une somme de puissances non nulles de p. Il en résulte que le cardinal de Z(G) est divisible par p et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.

Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.

Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que G est nilpotent. Démontrons-le par récurrence sur n, l'ordre de G étant supposé égal à pⁿ.
Si n est égal à zéro, le groupe est trivial donc nilpotent.
Soit n > 0 et supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à n - 1. Soit Z le centre du groupe, il est distingué et non trivial, donc G/Z est un p-groupe d'ordre une puissance de p inférieure ou égale à n - 1 et est nilpotent. Le fait que G/Z soit nilpotent montre que G l'est.

Soit G un p-groupe fini d'ordre pⁿ. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre p^r.
Puisque G est résoluble, chaque quotient d'une suite de Jordan-Hölder de G a pour ordre un nombre premier. Cet ordre, divisant celui de G, doit être égal à p. L'énoncé en résulte clairement. (On peut même prouver^[2] que le nombre des sous-groupes d'ordre p^r de G est congru à 1 modulo p.)

Tout p-groupe fini non abélien possède au moins un^[3] automorphisme non intérieur d'ordre une puissance de p.
Tout automorphisme d'un p-groupe G d'ordre pⁿ induit un automorphisme du quotient de G par son sous-groupe de Frattini Φ(G) = G^p[G, G]. Ce quotient est un groupe abélien élémentaire (en) (ℤ/pℤ)^d, dont le groupe d'automorphismes est GL(d, F_p), d'ordre (p^d – 1)(p^d – p)(p^d – p²) … (p^d – p^d–1). Le noyau du morphisme canonique de Aut(G) dans Aut(G/Φ(G)) a pour ordre^[4] un diviseur de p^d(n–d).

Remarque^[5] : tout groupe d'ordre p² est abélien. En effet, si Z est le centre (non trivial) d'un tel groupe G alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p) donc G est engendré par la réunion de Z et d'un singleton, si bien que G est abélien. (Il est donc soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.)

Notes et références

Notes

↑ Cette définition est conforme à Scott 1987, p. 91 ; Calais 1984, p. 295 ; Rotman 1999, p. 73 ; Hall 1976, p. 45 ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans (en) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et Perrin 1996, p. 9.
↑ Rotman 1999, p. 76.
↑ (de) Wolfgang Gaschütz (de), « Nichtabelsche $p$ -Gruppen besitzen äussere $p$ -Automorphismen », J. Algebra, vol. 4,‎ 1966, p. 1-2 (lire en ligne).
↑ (en) Philip Hall, « A contribution to the theory of groups of prime-power order », Proc. Lond. Math. Soc., iI, vol. 36,‎ 1933, p. 29-95 (zbMATH 59.0147.02).
↑ Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple Perrin 1996, p. 34.

Références

J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984, 3^e éd. (ISBN 978-2-13038465-6)
(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions]
(en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order, vol. 1 (ISBN 978-3110204186) et 2 (ISBN 978-3110204193), De Gruyter, 2008

Lien externe

Cours de théorie des groupes par N. Jacon de l'université de Franche-Comté

Portail des mathématiques

[1] Cette définition est conforme à Scott 1987, p. 91 ; Calais 1984, p. 295 ; Rotman 1999, p. 73 ; Hall 1976, p. 45 ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans (en) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et Perrin 1996, p. 9.

[2] Rotman 1999, p. 76.

[3] (de) Wolfgang Gaschütz (de), « Nichtabelsche $p$ -Gruppen besitzen äussere $p$ -Automorphismen », J. Algebra, vol. 4,‎ 1966, p. 1-2 (lire en ligne).

[4] (en) Philip Hall, « A contribution to the theory of groups of prime-power order », Proc. Lond. Math. Soc., iI, vol. 36,‎ 1933, p. 29-95 (zbMATH 59.0147.02).

[5] Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple Perrin 1996, p. 34.

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