Oracle (machine de Turing)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Oracle et Turing.
Une machine de Turing avec oracle peut faire appel à une boîte noire (oracle).

En théorie de la complexité ou de la calculabilité, les machines de Turing avec oracle sont une variante des machines de Turing disposant d'une boîte noire, un oracle, capable de résoudre un problème de décision en une seule opération élémentaire. En particulier, l'oracle peut résoudre en temps constant un problème indécidable comme le problème de l'arrêt. Les machines de Turing avec oracle servent notamment à définir la hiérarchie polynomiale ou la hiérarchie arithmétique[1].

Approche intuitive[modifier | modifier le code]

Une machine de Turing avec oracle se fait aider par un oracle. L'oracle peut être vu comme un dieu (il vaut mieux ne pas le considérer comme une machine) qui est capable de résoudre un certain problème de décision en un temps constant. Autrement dit, on donne une instance de ce problème entrée à l'oracle et il donne la réponse en un temps constant indépendant de la taille de la question. Ce problème peut être dans n'importe quelle classe de complexité. On peut même imaginer un oracle résolvant des problèmes qu'aucune machine de Turing ne sait résoudre, c'est-à-dire un problème indécidable comme le problème de l'arrêt.

Les oracles sont des outils purement théoriques, puisque ce modèle évite soigneusement de soulever la question de leur fonctionnement.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit A un langage. Une machine de Turing avec oracle A est une machine de Turing à plusieurs rubans avec un ruban de travail habituellement mais également dotée d'un ruban spécial, le ruban d'oracle, et de trois états particuliers, , et . Pour consulter l'oracle, la machine écrit un mot sur ce ruban, puis entre dans l'état . L'oracle décide alors en une étape de calcul si l'état suivant est ou , selon que ce mot fait partie ou non du langage A.

La machine peut consulter plusieurs fois l'oracle. On remarque qu'une même machine peut fonctionner avec différents oracles ; le langage reconnu sera alors a priori différent.[pas clair]

Classes de complexité avec oracles[modifier | modifier le code]

Notations[modifier | modifier le code]

On note où A est une classe de complexité et L un langage, la classe des langages reconnus par un algorithme de classe A avec comme oracle le langage L. Par exemple, si P est la classe des problèmes décidées par une machine de Turing déterministe en temps polynomial, et SAT est l'ensemble des formules de la logique propositionnelle qui sont satisfiables (voir problème SAT), alors est la classe des problèmes solubles en temps polynomial en utilisant un oracle qui résout le problème SAT en temps constant.

On note encore , où A et C sont deux classes de complexité, la classe des langages reconnus par un algorithme de classe A avec un oracle dont le langage décidé appartient à la classe C. Il est prouvé que si L est un langage complet dans la classe C, alors . Comme SAT est NP-complet, .

P et NP[modifier | modifier le code]

Concernant les classes de complexité classiques, l'on a : , puisque pour transformer une machine de Turing polynomiale avec oracle polynomial en une machine polynomiale sans oracle. Pour cela, il suffit de remplacer le ruban de l'oracle par la machine correspondant au langage oracle. On sait aussi que , mais la question de l'égalité est ouverte (voir l'article hiérarchie polynomiale).

Les oracles ont été utilisés pour étudier la question de savoir si P = NP :

Théorème (Baker, Gill, Solovay, 1975) : il existe un langage A tel que et il existe un langage B tel que .

L'existence du langage A est assez facile à établir : il suffit de prendre un oracle assez puissant pour que la différence de puissance de calcul entre P et NP soit gommée. En fait, tout langage PSPACE-complet convient. En revanche, l'existence du langage B est remarquable. Elle ne permet cependant pas de trancher au sujet de savoir si P = NP : on peut imaginer que les modèles de calcul de la machine de Turing déterministe et non déterministe ont même puissance en temps polynomial, mais que l'un tire mieux parti de l'oracle B que l'autre.

Il est aussi possible de trouver un langage tel que la propriété soit indécidable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir exercice 3.4.9 p. 68 dans Computational Complexity de C. Papadimitriou.

Bibliographie[modifier | modifier le code]