Opérateur retard

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Dans l'analyse des Séries temporelles, l'opérateur retard, noté L (ou B quelquefois), est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.

Définition — \, L X_t = X_{t-1} pour tout \; t > 1\,

Généralisations[modifier | modifier le code]

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce que l'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

\, L^k X_{t} = X_{t-k}.\,

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. Par exemple, on pose

\, L^{-1} X_{t} = X_{t+1}\,.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriété — L'opérateur des retards et l'opérateur de multiplication sont commutatifs: L(\beta X_t)=\beta\cdot(LX_t)

Propriété — L'opérateur des retards est distributif par rapport à l'opérateur d'addition: L(X_t+Y_t)=L(X_t)+L(Y_t)

Polynôme retard[modifier | modifier le code]

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, appelé encore polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Par exemple, pour le modèle AR(1):

 X_t = c + \varphi X_{t-1}+ \varepsilon_t \Rightarrow (1-\varphi L)X_t=c+\varepsilon_t

Et pour le modèle AR(p)

 X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} +\varepsilon_t \Rightarrow \left(1 - \varphi_{1} L^{1}- \varphi_{2} L^{2}-\ldots- \varphi_{p} L^{p}\right) X_t=\left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t=\varepsilon_t\,

Cela permet d'avoir une notation très concise d'un modèle ARMA(p,q):

 \Phi X_t = \Theta \varepsilon_t\,

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA):

 \Phi = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\,

et

 \Theta= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i.\,

équation caractéristique[modifier | modifier le code]

L'équation caractéristique se trouve très facilement depuis le polynôme caractéristique en substituant à l'opérateur des retards L la variable x. Pour le modèle AR(p):  \left(1 - \varphi_{1} L^{1}- \varphi_{2} L^{2}-\ldots- \varphi_{p} L^{p}\right) devient  \left(1 - \varphi_{1} x^{1}- \varphi_{2} x^{2}-\ldots- \varphi_{p} x^{p}\right).

L'équation caractéristique est utilisée notamment pour vérifier la stationnarité et l'invertibilité d'un processus ARMA.

Opérateur de différence[modifier | modifier le code]

L'opérateur de différence première \Delta est un polynôme retard spécial:


\begin{array}{lcr}
  \Delta X_t & = X_t - X_{t-1} \\
  \Delta X_t & = (1-L)X_t
\end{array}

De manière similaire, l'opérateur de différence seconde est


\begin{align}
  \Delta ( \Delta X_t ) & = \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\
  \Delta ( \Delta X_t ) & = X_t - 2 X_{t-1} + X_{t-2} \\
  \Delta^2 X_t & = (1-L)\Delta X_t \\
  \Delta^2 X_t & = (1-L)(1-L)X_t \\
  \Delta^2 X_t & = (1-L)^2 X_t
\end{align}

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence   \Delta ^i X_t  = (1-L)^i X_t  \

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • modèle autorégressif (AR);
  • modèle moyenne-mobile (MA);
  • modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA);
  • Transformée en Z.