Opérateur retard

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Dans l'analyse des Séries temporelles, l'opérateur retard, noté L (ou B quelquefois), est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.

Définition —  pour tout

Généralisations[modifier | modifier le code]

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce que l'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. Par exemple, on pose

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriété — L'opérateur des retards et l'opérateur de multiplication sont commutatifs:

Propriété — L'opérateur des retards est distributif par rapport à l'opérateur d'addition:

Polynôme retard[modifier | modifier le code]

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, appelé encore polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Par exemple, pour le modèle AR(1):

Et pour le modèle AR(p)

Cela permet d'avoir une notation très concise d'un modèle ARMA(p,q):

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA):

et

équation caractéristique[modifier | modifier le code]

L'équation caractéristique se trouve très facilement depuis le polynôme caractéristique en substituant à l'opérateur des retards L la variable x. Pour le modèle AR(p): devient .

L'équation caractéristique est utilisée notamment pour vérifier la stationnarité et l'invertibilité d'un processus ARMA.

Opérateur de différence[modifier | modifier le code]

L'opérateur de différence première est un polynôme retard spécial:

De manière similaire, l'opérateur de différence seconde est

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • modèle autorégressif (AR);
  • modèle moyenne-mobile (MA);
  • modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA);
  • Transformée en Z.