Noyau de Fejér

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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une suite de fonctions permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier. Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér.

Définition[modifier | modifier le code]

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

Soit x une variable réelle. Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité (en), c'est-à-dire une suite (Fn) de fonctions réelles de la variable x satisfaisant certaines propriétés, dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n et noté Fn(x), peut être défini de deux façons équivalentes.

Définition 1
F_n (x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} D_k \left( x \right)

Dk(x) est le noyau de Dirichlet :

D_k (x) = \sum_{p=-k}^{k} e^{ipx}

Si x n'est pas un multiple entier de , alors Dk(x) est égal à :

D_k(x)=\frac{\sin\left(\left(k+\frac12\right)x\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}

En remplaçant, on obtient alors :

F_n (x) = \frac{1}{n} \left( \frac{\sin{\frac{nx}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}} \right)^2
Définition 2
F_n (x) = \sum_{k=-n}^n \left( 1- \frac{|k|}{n} \right) e^{i k x}

Convolution[modifier | modifier le code]

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (continue par morceaux et 2π-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Fejér.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le noyau de Fejér vérifie :

  • \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad F_n(x) \ge 0

De plus, comme tout noyau de sommabilité, le noyau de Fejér a les propriétés suivantes :

  • \forall n \in \mathbb{N}, \quad \int_\mathbb{R} F_n(x)\,dx = 1
  • \exist M > 0, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad \int_\mathbb{R} |F_n(x)|\,dx \le M
  • \forall \varepsilon>0,\quad \lim_{n\to\infty} \int_{|x| > \varepsilon} |F_n(x)|\,dx = 0

La suite (Fn) restreinte à [-π; π] est donc une approximation de l'unité.

Articles connexes[modifier | modifier le code]