Noyau de Fejér

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En mathématiques, en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une fonction permettant de calculer les sommes partielles de Fejér.

Expression mathématique[modifier | modifier le code]

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

On peut établir l'expression du noyau de Fejér à partir du noyau de Dirichlet Dn :

D_n \left( x \right) = \frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} e^{-ikx} 
= \frac{1}{2 \pi} \frac{\sin{ \left( \left(n + \frac{1}{2}\right)  x \right)}}{\sin{x/2}}

Alors le noyau de Fejér d'ordre n est :

F_n \left( x \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} D_k \left( x \right) = \frac{1}{2 n \pi} \left( \frac{\sin{n x/2}}{\sin{x/2}} \right)^2

On montre alors qu'on obtient la somme partielle de Fejér d'ordre n d'une fonction f (continue par morceaux et 2π-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Fejér.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction F_n est d'intégrale constante, égale à 1. Pour tout ε>0, Fn(ε) s'annule quand n \to \infty. La suite \left( F_n \right)_{n \in \mathbb{N}}, restreinte à [ -\pi; \pi ] est donc une approximation de l'unité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]