Noyau de Fejér

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir noyau.

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une suite de fonctions réelles -périodiques permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier. Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér.

Définition[modifier | modifier le code]

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

Le noyau de Fejér est la suite (Fn)n∈ℕ* de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

.

Calcul[modifier | modifier le code]

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

  1. si (donc, par continuité, Fn(x) = n si x est un multiple entier de ) ;
  2. .

Convolution[modifier | modifier le code]

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur [–π, π] et -périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Fejér.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur , c'est-à-dire que :

  •  ;
  •  ;
  • .

La suite (Fn) est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach (munie de produit de convolution).