Nombre premier supersingulier

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, un nombre premier supersingulier est un nombre premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles ; il n'en existe que 15.

Définition géométrique[modifier | modifier le code]

Pour un entier naturel donné n, soit Γ0(n) le n-ième sous-groupe de congruence du groupe modulaire Γ0, et soit wn l'involution de Fricke (en) définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit X0(n) la courbe modulaire compactifiée de Γ0(n)\H (où H désigne le demi-plan de Poincaré), et posons X0+(n) = X0(n)/wn.

Un nombre premier p est dit supersingulier si X0+(p) est de genre nul.

Définition algébrique[modifier | modifier le code]

Il est aussi possible de définir les nombres premiers supersinguliers à l'aide de la théorie des nombres en les associant aux courbes elliptiques supersingulières (en) définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur j-invariant dans GF(p).

Liste des nombres premiers supersinguliers[modifier | modifier le code]

Il existe exactement quinze nombres premiers supersinguliers (voir suite A002267 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers supersinguliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M.

Les nombres premiers supersinguliers sont des nombres premiers de Chen.

Références[modifier | modifier le code]